精品解析：广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．考生答卷必须写于答题卡中指定的位置，答案写于本卷中无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C. 购买一张彩票，未中奖 D. 温度降到以下，纯净的水会结冰 5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 根的情况无法判断 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 7. 两块大小相同，含有角的直角三角板水平放置，如图，将绕点旋转到的位置，使落在边上，则旋转的角度是（） A. B. C. D. 8. 一条钢管放在形架内，其截面图如图所示，为钢管的圆心．如果钢管的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 10. 潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局．某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（ ） A. 10% B. 190% C. 10%或190% D. 19% 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是方程的一个根，那么的值是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为________ ． 14. 如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 15. 小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）请判断的形状并说明理由； （2）若，求的长． 18. 如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． （1）请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求地基的面积（答案保留根号）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________； （2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 20. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． （1）图1中，若线段，求线段的长． （2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 21. 景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动． 【收集素材】 素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗． 素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深． 【问题提出】 问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ 【方案设计】 步骤 方案设计 步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式． 步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律． 【问题解决】 （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式； （2）当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答． 【观察发现】 （1）当，，三点共线时，_____； 【尝试探究】 （2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分； 【深入探究】 （3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程． 23. 【实验探究】 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接，如图，完成画图步骤： ①画线段的垂直平分线； ②过点画轴的垂线； ③记的交点为． 【操作猜想】 （1）取点的横坐标分别为，0，2，4，6，请你按题干画图步骤在网格图中分别描出对应的点（不需要尺规作图），并用平滑的曲线顺次连接各点，观察你画出的曲线，猜想它是哪种曲线？ 【猜想论证】 （2）在你画出的曲线上任取一点，连接，作轴，垂足为．设点的坐标为，请你由与的关系求与满足的关系式； 【类比应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接的垂直平分线交轴于点，过点分别作轴，轴的垂线，两条垂线交于点是的中点，连接，作的外接圆．求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．考生答卷必须写于答题卡中指定的位置，答案写于本卷中无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可； 【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为 所以抛物线 的顶点坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键． 4. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C. 购买一张彩票，未中奖 D. 温度降到以下，纯净的水会结冰 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据事件的分类逐项分析即可． 【详解】解：A．投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件； B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数是随机事件； C．购买一张彩票，未中奖是随机事件； D．温度降到以下，纯净的水会结冰是必然现象． 故选D． 5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，将常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数的一半进行配方即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选D． 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 根的情况无法判断 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 当 时，有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，无实数根． 通过计算判别式的值来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程无实数根． 故选B． 7. 两块大小相同，含有角的直角三角板水平放置，如图，将绕点旋转到的位置，使落在边上，则旋转的角度是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质，得到，进而得到，进而求出的度数，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：由题意，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴；即旋转的角度是； 故选A． 8. 一条钢管放在形架内，其截面图如图所示，为钢管的圆心．如果钢管的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和切线的性质，解题时，熟记弧长公式和切线的性质即可解答，属于基础题．首先利用切线的性质得到，然后根据求得，从而利用弧长公式求得答案即可． 【详解】解：由题意得：和分别与相切于点和点， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长， 故选：D． 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 10. 潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局．某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（ ） A. 10% B. 190% C. 10%或190% D. 19% 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先设年平均下降率为，列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】解：设年平均下降率为， 则， 解得：（舍去），， 即年平均下降率为． 故选：A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是方程的一个根，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将代入方程求解 m即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 【详解】点关于原点的对称点为． 故答案为． 13. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为________ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14. 如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 15. 小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概型的求法．根据几何概型的意义，求出小正方形的面积，求出大正方形的面积，圆的面积，再算出阴影部分的面积，求其比值即可． 【详解】解：根据题意分析可得： 大正方形的边长为，故面积为5； 小正方形的边长为，面积为1； 圆的直径为，面积为； 阴影部分的面积为； 则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 17. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）请判断的形状并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质． （1）根据旋转的性质可得，，然后判断出是等腰直角三角形； （2）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴． 18. 如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． （1）请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】（1） 正六边形如图所示， （2）平方米． 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________； （2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片不是《731》的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出求抽取的两次结果都不是《731》的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得， 第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种， 抽取的两次结果都不是《731》的概率为． 20. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． （1）图1中，若线段，求线段的长． （2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2） 证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的意义，解一元二次方程． （1）设，则，根据，列得一元二次方程，解之取正值即可求解； （2）利用黄金分割点的意义求得和的长，进一步求得和的长，再分别求得和，据此判断即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； 【小问2详解】 略 21. 景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动． 【收集素材】 素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗． 素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深． 【问题提出】 问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ 【方案设计】 步骤 方案设计 步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式． 步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律． 【问题解决】 （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式； （2）当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律． 【答案】（1） （2） 水面的宽度为； 碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． （1）以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件得出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别把，，代入函数解析式求出x的值，然后求出水面的宽度即可求解． 【小问1详解】 解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； 当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； 当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； ∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系， ∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答． 【观察发现】 （1）当，，三点共线时，_____； 【尝试探究】 （2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分； 【深入探究】 （3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程． 【答案】（1）； （2）证明：∵，，三点共线， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）与的锐角夹角的度数为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）利用证明，可求得，通过计算即可得到平分； （3）同（2）证明，利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，，三点共线， ∴旋转角为， 故答案为：； （2）略 （3）如图2，三点共线，记交于点， 同理， ∴， ∵， ∴； 如图3，三点共线， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 23. 【实验探究】 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接，如图，完成画图步骤： ①画线段的垂直平分线； ②过点画轴的垂线； ③记的交点为． 【操作猜想】 （1）取点的横坐标分别为，0，2，4，6，请你按题干画图步骤在网格图中分别描出对应的点（不需要尺规作图），并用平滑的曲线顺次连接各点，观察你画出的曲线，猜想它是哪种曲线？ 【猜想论证】 （2）在你画出的曲线上任取一点，连接，作轴，垂足为．设点的坐标为，请你由与的关系求与满足的关系式； 【类比应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接的垂直平分线交轴于点，过点分别作轴，轴的垂线，两条垂线交于点是的中点，连接，作的外接圆．求面积的取值范围． 【答案】（1）所作图形如图，是一条抛物线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）由题意得，，根据，列式计算即可求解； （3）设点的坐标为，利用垂直平分线的性质求得点的坐标是，记，求得圆的半径为，推出的面积为，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵点的坐标是，点的坐标为，轴， ∴，， 由题意得，即， ∴，整理得； （3）设点的坐标为， ∵点的坐标是，是线段的垂直平分线， ∴点的坐标是， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标是，记， ∴点的坐标是， ∵点是的中点， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， ∴， ∴圆的半径为， ∴圆的面积为， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， 当，即时，， 但此时，垂直平分线不存在， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $