广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．考生答卷必须写于答题卡中指定的位置，答案写于本卷中无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C. 购买一张彩票，未中奖 D. 温度降到以下，纯净的水会结冰 5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 根的情况无法判断 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 7. 两块大小相同，含有角的直角三角板水平放置，如图，将绕点旋转到的位置，使落在边上，则旋转的角度是（） A. B. C. D. 8. 一条钢管放在形架内，其截面图如图所示，为钢管的圆心．如果钢管的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 10. 潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局．某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（ ） A. 10% B. 190% C. 10%或190% D. 19% 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是方程的一个根，那么的值是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为________ ． 14. 如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 15. 小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）请判断的形状并说明理由； （2）若，求的长． 18. 如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． （1）请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求地基的面积（答案保留根号）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________； （2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 20. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． （1）图1中，若线段，求线段的长． （2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 21. 景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动． 【收集素材】 素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗． 素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深． 【问题提出】 问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ 【方案设计】 步骤 方案设计 步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式． 步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律． 【问题解决】 （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式； （2）当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答． 【观察发现】 （1）当，，三点共线时，_____； 【尝试探究】 （2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分； 【深入探究】 （3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程． 23. 【实验探究】 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接，如图，完成画图步骤： ①画线段的垂直平分线； ②过点画轴的垂线； ③记的交点为． 【操作猜想】 （1）取点的横坐标分别为，0，2，4，6，请你按题干画图步骤在网格图中分别描出对应的点（不需要尺规作图），并用平滑的曲线顺次连接各点，观察你画出的曲线，猜想它是哪种曲线？ 【猜想论证】 （2）在你画出的曲线上任取一点，连接，作轴，垂足为．设点的坐标为，请你由与的关系求与满足的关系式； 【类比应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接的垂直平分线交轴于点，过点分别作轴，轴的垂线，两条垂线交于点是的中点，连接，作的外接圆．求面积的取值范围． 2025－2026学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．考生答卷必须写于答题卡中指定的位置，答案写于本卷中无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##度 【14题答案】 【答案】4 【15题答案】 【答案】 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 【16题答案】 【答案】， 【17题答案】 【答案】（1） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2） 【18题答案】 【答案】（1） 正六边形如图所示， （2）平方米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 水面的宽度为； 碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 【22题答案】 【答案】（1）； （2）证明：∵，，三点共线， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）与的锐角夹角的度数为 【23题答案】 【答案】（1）所作图形如图，是一条抛物线； （2）； （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $