精品解析：广东省江门市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期义务教育质量监测题 八年级数学 注意事项： 1．本试题卷共8页，满分120分，考试用时130分钟（含问卷调查）． 2．答题前，考生务必把自己的学校、姓名、试室号、座位号和考生号等填写在答题卡相应的位置上，并用2B铅笔填涂考生号信息． 3．选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔书写．所有答案在答题卡上指定位置作答，在本试题卷上作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，5，9 C. 4，5，8 D. 4，4，8 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个条件中，能确定为直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 5. 下列各式中，不是分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（ ）（结果用科学记数法表示） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 12. 在机械化作业中，拖拉机天耕地公顷，则拖拉机的工作效率是_____公顷/天． 13. 计算_____． 14. 如图，在中，，点在上，，则_____． 15. 如图，在中，，，，，平分交于点，则长为_____． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 在解分式方程时，小江的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：检验：当时， 第五步：原分式方程的解为 小江的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小江的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． 18. 如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售，两种吉祥物挂件，已知每个种挂件的价格是每个种挂件价格的，用180元购买种挂件的数量比用100元购买种挂件的数量多8个，求每个种挂件的价格． 20. 观察下列等式： …… （1）①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． （2）一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 21. 综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题13分，共26分． 22. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”． （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5，求所代表的代数式． （3）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4，求，的值． 23. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． （1）当点在边上时，求证：． （2）当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． （3）当与全等时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期义务教育质量监测题 八年级数学 注意事项： 1．本试题卷共8页，满分120分，考试用时130分钟（含问卷调查）． 2．答题前，考生务必把自己的学校、姓名、试室号、座位号和考生号等填写在答题卡相应的位置上，并用2B铅笔填涂考生号信息． 3．选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔书写．所有答案在答题卡上指定位置作答，在本试题卷上作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，5，9 C. 4，5，8 D. 4，4，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．根据“三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，6不能构成三角形，该选项不符合题意； B、∵， ∴4，5，9不能构成三角形，该选项不符合题意； C、∵， ∴4，5，8能构成三角形，该选项符合题意； D、∵， ∴4，4，8不能构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断． 【详解】解：根据三角形的高的定义，在中，边上的高是， 故选：A． 3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列四个条件中，能确定为直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及直角三角形的判定条件,逐项分析各条件是否能确保三角形有一个角为即可得出结果，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、和都是锐角，但可能为锐角或钝角,不能确定直角三角形，故A不符合题意； B、设三个内角为，，，则，解得，故三个角的度数分别为，，，有一个直角，能确定直角三角形，故B符合题意； C、由，，可得，由，可得，即，不能确定直角三角形，故C不符合题意； D、设三个外角为，，，则，解得，故三个外角分别为，，，对应内角为，，，不能确定直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，不是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：A、B、C的分母中均含有字母，满足分式的定义，不符合题意； D的分母中不含有字母，不满足分式的定义，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，点是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质．根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 7. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把多项式化为几个整式的积的变形．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：A、是乘法运算，不是因式分解； B、是乘法运算，不是因式分解； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解； D、是化为积的形式，是因式分解； 故选：D． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方和同底数幂相乘，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 9. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（ ）（结果用科学记数法表示） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 10. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质及平行线的性质．如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解， 【详解】解：如图， 由图可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 在机械化作业中，拖拉机天耕地公顷，则拖拉机的工作效率是_____公顷/天． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列代数式．根据工作效率工作总量工作时间，列出代数式即可． 【详解】解：本题中总工作量为公顷，总时间为天， 因此工作效率为公顷/天． 故答案为：． 13. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可得出结果，熟练掌握同底数幂相乘的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在上，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质．熟知等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形外角等于不相邻两内角之和，即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，平分交于点，则长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理、三角形的面积公式．过点D作于点H，根据角平分线的性质定理得，再根据三角形等面积法求得即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵平分，，， ∴，， 由得：， 解得：， 故答案为：3． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 在解分式方程时，小江的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：检验：当时， 第五步：原分式方程的解为 小江的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小江的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】 解：由题意得，第一步是去分母，去分母的依据是等式两边同时乘以同一个整式，等式仍然成立， 小江的解答过程不正确，正确解答如下： 两边同时乘以得 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可知第一步去分母，依据是等式的性质，在第一步去分母时方程左边的1没有乘以导致解答过程错误，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 18. 如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 【答案】 ，，， 证明：∵，， ∴D是的中点，，， ∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∴， ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的性质．由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售，两种吉祥物挂件，已知每个种挂件的价格是每个种挂件价格的，用180元购买种挂件的数量比用100元购买种挂件的数量多8个，求每个种挂件的价格． 【答案】15元 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题建立分式方程并求解的能力．题目给出了A、B两种挂件之间的价格关系以及在特定金额下购买数量之间的关系，要求求出每个A种挂件的价格．解题的关键是设出合适的未知数，利用“总价 ÷ 单价 = 数量”的关系列出等量关系，从而建立分式方程，解方程后检验解的合理性，得出最终结果． 【详解】解：设每个B种挂件的价格为元，则每个A种挂件的价格为元． 根据题意，“用180元购买A种挂件的数量比用100元购买B种挂件的数量多8个”，得： 化简得： 整理得： 解得： 每个A种挂件的价格为：元 检验： B种单价为25元，则A种单价为15元 180元买A种数量：个 100元买B种数量：个 ，符合题意，解正确． 答：每个种挂件的价格为15元 20. 观察下列等式： …… （1）①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． （2）一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 【答案】（1）①； ②，证明： ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据题干给出的等式即可得出结果；②根据题干给出的等式即可得出结果，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）由题意可得，由（1）可得，从而得出，最后利用完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据以上等式的规律可得； ②略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）如图所示，整个过程所行的路程为． 【解析】 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题13分，共26分． 22. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”． （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5，求所代表的代数式． （3）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4，求，的值． 【答案】（1） C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3， 证明如下： ∵，， ∴ ， ∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，正确理解“雅中式”和“雅中值”是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则求出的结果，再根据“雅中式”和“雅中值”的定义证明求解即可； （2）根据定义可得，则，据此去分母求解即可； （3）根据定义可得，则，则可推出，根据式子恒成立得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵式子恒成立， ∴， 解得，即． 23. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． （1）当点在边上时，求证：． （2）当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． （3）当与全等时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴； （2）当图中存在等边三角形时，t的值为3或； （3）当与全等时，t的值为4或或12． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用等角的余角相等即可求证； （2）当点在边上，且时，是等边三角形，当点N在边上，时，是等边三角形，据此列出方程，解方程可得出答案； （3）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形 此时， ∴； 当点N在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为3或； 【小问3详解】 解：当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点在边上，，， 此时，则有， ∴， ∴， 解得：； 当时，点，都在边上时，，， 点，重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在边上，点在边上，，， 同理，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，点到终点停止不动，点在边上，，，此时， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为4或或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $