19.3.3 正方形课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及判定，通过生活实例如魔方的面导入，结合长方形纸片折纸活动，衔接矩形和菱形知识，构建从特殊平行四边形到正方形的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，折纸观察对称性培养几何直观，例题中全等推理发展逻辑思维，判定途径的结构化总结体现数学表达简洁。分层练习覆盖选择、证明、计算，助力学生空间观念与推理能力提升，为教师提供系统教学资源与分层设计参考。

19.3 矩形、菱形、正方形 第19章 四边形 沪科版 八年级下册 19.3.3 正方形 情境导入 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情境导入 正方形是我们所熟悉的图形，如魔方的一个面. 知识讲解 知识点1 正方形的性质 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形. 思考：什么样的四边形是正方形？ 正方形的定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形. 知识讲解 正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等. 知识讲解 正方形也是特殊的菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 知识讲解 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： ； 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 知识讲解 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角. 性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 归纳总结 正方形是特殊的矩形，又是特殊的平行四边形，更是特殊的平行四边形. 因此正方形具有这些图形的所有性质. 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义， 途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. 知识讲解 例 如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′. 求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形. 例题讲解 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA. ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝ 90°. 又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′， ∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D. ∴Rt△AA′D′ ≌Rt△BB′A′ . ∴ D′A＝A′B，∠1＝∠3. 同理：A′B′ ＝ B′C′，B′C′＝ C′D′，C′D′＝ D′A′， ∴A′B′ ＝ B′C′＝ C′D′＝ D′A′， ∴四边形 A′B′C′D′ 是菱形. 例题讲解 ∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°， ∴∠2＋∠3＝ 90°， ∴∠D′A′B′＝ 90°. 所以四边形 A′B′C′D′ 是正方形. 例题讲解 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 课堂小结 1. 四个角都是直角 2. 四条边相等 3. 对角线相等、互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角 且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 1. （2025·滁州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具 有的性质是（　B　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 B 随堂练习 2. 一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是（　A　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 3. （2024·合肥四十五中期末）如图，在正方形ABCD内作等 边三角形AED，连接BE，CE，则∠BEC的度数为（　A　） A. 150° B. 175° C. 120° D. 135° A 4. （2025·淮南期末）如图，在正方形ABCD中，P是AB上任 意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M，N. 若BD＝ 10，则PM＋PN＝ ⁠. 5　 5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上， 且DE＝AF，BE与CF交于点G. （1）求证：△BCE≌△CDF； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AD，∠BCE＝∠CDF＝90°. ∵AF＝DE，∴DF＝CE. 在△BCE和△CDF中， ​ ∴△BCE≌△CDF（SAS）. 5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上， 且DE＝AF，BE与CF交于点G. （2）若BC＝4，DE＝1，求CF的长. 解：（2）∵CD＝BC＝4，DE＝1，∴CE＝CD －DE＝3. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE＝ ＝ ＝5. 由（1），知△BCE≌△CDF，∴CF＝BE＝5. 6. 下列条件不能判定一个平行四边形是正方形的是（　D　） A. 对角线相等且互相垂直 B. 一组邻边相等且有一个角是直角 C. 对角线相等且一组邻边相等 D. 对角线互相平分且有一个角是直角 D 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加 下列条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（　C　） A. AB＝AC B. OA＝OC C. BC⊥CD D. AC⊥BD C 8. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于 点M，交边BC于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E， F. （1）【一题多解】求证：四边形AEMF是正方形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°. ∵ME⊥AB，MF⊥AD， ∴∠AEM＝∠AFM＝90°， ∴四边形AEMF是矩形. 证法1：∵AM平分∠BAD，∴∠EAM＝ ∠FAM＝45°，∴∠EMA＝45°，∴AE ＝ME， ∴四边形AEMF是正方形. 证法2：∵AM平分∠BAD，∴∠EAM＝∠FAM. 又∵∠AEM＝∠AFM＝90°，AM＝AM， ∴△AEM≌△AFM（AAS），∴AE＝AF， ∴四边形AEMF是正方形. 8. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于 点M，交边BC于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E， F. （2）过点C作CG∥MN，交AD于点G. 若AB＝4，BC＝ 10，求四边形ANCG的面积. 解：（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠DAN＝∠ANB. ∵AN平分∠BAD，∴∠DAN＝∠BAN， ∴∠BAN＝∠ANB， ∴AB＝BN＝4，∴NC＝BC－BN＝10－4＝6. ∵CG∥MN，AG∥NC， ∴四边形ANCG是平行四边形， ∴四边形ANCG的面积为NC·AB＝6×4＝24. 9. （教材P106练习T1变式）四边形ABCD的对角线AC和BD相 交于点O，则下列几组条件中，能判定四边形ABCD是正方形 的是（　C　） ①AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD； ②AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB⊥BC； ③四边形ABCD是矩形，并且BC⊥CD； ④四边形ABCD是菱形，并且AC＝BD. C A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. （2024·宣城期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点， 连接OF，CF. 若△CEF的周长为18，则OF的长为 ⁠. 　 11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上.若CD ＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF，交边BC于 点G，连接AG，CF，则GF的长为 ⁠. 　 12. 如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将 Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，延长DF，交BE 于点H. （1）试判断四边形AFHE的形状，并说明理由； 解：（1）四边形AFHE是正方形.理由如下： 由旋转的性质，得∠AEB＝∠AFD＝90°， ∠EAF＝90°，∴∠AFH＝90°， ∴四边形AFHE是矩形. 由旋转的性质，得AE＝AF， ∴四边形AFHE是正方形. 12. 如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将 Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，延长DF，交BE 于点H. （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长. 解：（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝13. 由旋转的性质，得DF＝BE＝BH＋EH＝7＋EH. 由（1），得四边形AEHF为正方形，∠AFD＝90°， ∴AF＝EH＝FH. 在Rt△ADF中，AF2＋DF2＝AD2， ∴EH2＋（7＋EH）2＝132，解得EH＝5（负值舍去）， ∴DH＝DF＋FH＝7＋5＋5＝17. 13. （2025·合肥蜀山区期末）如图，E是正方形ABCD的对角 线AC上任意一点，连接DE，BE. （1）求证：DE＝BE； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， AC为对角线， ∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE. ∵AE＝AE，∴△DAE≌△BAE（SAS）， ∴DE＝BE. （2）当AE＝AB时，求∠BED的度数； 解：（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴∠BAC＝45°. ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE＝ ×（180°－45°）＝67.5°. 由（1），知△DAE≌△BAE，∴∠AED＝ ∠AEB＝67.5°， ∴∠BED＝∠AED＋∠AEB＝135°. （3）过点E作EF⊥DE，交AB于点F，当BE＝BF，AB＝ ＋1时，求AF的长. 解：（3）如图，过点E作EM⊥BF于点M. 由（1），知△DAE≌△BAE，∴∠ADE＝∠ABE. ∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°. 在四边形ADEF中，∠DAF＝90°， ∴∠ADE＋∠AFE＝180°. ∵∠AFE＋∠BFE＝180°， ∴∠BFE＝∠ADE，∴∠BFE＝∠EBF，∴BE＝EF. ∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠EBF＝60°. ∵EM⊥BF，∴MF＝BM. 设BM＝x，则MF＝BM＝x，BE＝BF＝2x， ∴EM＝ x. ∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴∠BAE＝ ∠BAD＝45°，∴AM＝EM＝ x. ∵AM＋BM＝AB＝ ＋1， ∴ x＋x＝ ＋1，解得x＝1， ∴BF＝2x＝2，∴AF＝AB－BF＝ ＋1－2＝ －1. $