精品解析：福建省厦门市外国语学校2025-2026学年高二上学期期末冲刺数学练习试卷

福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据法向量与直线l垂直，即可得答案. 【详解】取坐标平面内两点和，则， 则直线OA的斜率与直线的斜率乘积为，而， 所以直线的斜率为. 故选：C 2. 三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】在三棱柱中，四边形为平行四边形，则， 所以，. 故选：D. 3. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义可知，再利用导数的定义计算即可. 【详解】由题意可知，，则. 故选：A 4. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 5. 如图所示，图①是一个边长为的正三角形，周长记为，图②是将图①的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，周长记为，反复进行这一过程得到图③，图④，周长分别记为，，得到数列，设数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形得，进而得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和即可求解. 【详解】由图可得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以， 所以，所以， 化简得：，即，的最小值为， 故选：B． 6. 已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将表达式化简可得，再利用前 项积的关系式可证明数列是等差数列，即可求得结果. 【详解】由已知得，且，，取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D 7. 如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又四边形是正方形，所以⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 过点分别为⊥，⊥于点， 则⊥平面，⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 则，， ，其中， 故要想取得最小值，则，即只需点在上， 其中关于直线的对称点为， 连接，此时取得最小值，最小值为， 其中. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，则，， 由为直径的圆经过点，得，在中，由勾股定理得， ，整理得，解得， 所以的离心率. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知方程表示曲线，则（ ） A. 曲线表示椭圆，则的取值范围是 B. 时，曲线的离心率为 C. 时，曲线的渐近线方程为 D. ，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线的简单几何性质逐个判断即可. 【详解】对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则曲线方程为，表示椭圆，所以，， 故，因此离心率，故B正确； 对于C：若，则曲线方程为，则， 故曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于D：若，则，，此时方程表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间位置关系的向量证明判断A、B；利用线面角的向量求法可判断C；利用平面的法向量的性质可判断D. 【详解】对于A：， ，或，故A错误； 对于B：两个不同的平面，的法向量分别是，， 且，所以，故B正确； 对于C：是平面的法向量，是直线的方向向量，若， 设直线与平面所成角为，则， 得，即直线与平面所成角为，故C正确； 对于D：由题可得，，若向量是平面的法向量， 则有，得，则，故D正确． 故选：BCD. 11. 正四面体中，已知平面，平面，点在棱上，下列正确的是（ ） A. 若、分别为棱、的中点，则平面 B. 在棱上存在点，使平面 C. 当为棱的中点时，平面平面 D. 平面与平面所成锐二面角的正切值为 【答案】CD 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，然后每个选项逐一判断即可. 【详解】将正四面体放在正方体中，如图， 平面就是与左右两个侧面平行的平面，是前后两个侧面的中心对角线交点，直线平面或直线平面，A错误. 正方体的左、右两个侧面与平面平行，因此，与平面垂直的直线只能是与其四条侧棱平行或重合的直线，B错误. 平面就是平面，由与侧面垂直，得面面垂直，C正确. 同样正方体中易得与对角面垂直，因此是二面角的平面角，，而平面与平面平行，因此D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中两点，，向量，，则________，________． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】由向量模的坐标表示计算模，由空间向量共线求得． 【详解】由题意，因为，所以，解得， ． 故答案为：，． 13. 已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用重心、外心的性质，设重心坐标，利用重心坐标公式结合直线方程列关系式，求出外心坐标，利用外心性质列方程，联立方程求解． 【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为， 代入方程得：，整理得：  ①， 的中点为，， 的中垂线斜率为， 的中垂线方程为，即． 联立，解得，  的外心为． 外心到各顶点距离相等，则， 即， ，整理得：②， 联立①②得：或． 当时重合，舍去， 顶点的坐标是． 故答案为：． 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像： 由图像可知：， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求的通项公式； （2）求和：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的项和通项公式求解； （2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以. 解得. 所以. 【小问2详解】 设等比数列的公比为. 因为，所以， 解得， 所以是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. 16. 在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． （1）若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】（1）与 （2） 【解析】 【分析】（1）对切线斜率是否存在进行分类讨论，再由点到直线距离公式计算可得结果； （2）求出点的轨迹，再利用圆上点到定点距离的最值问题解不等式可得结果. 【小问1详解】 因为圆心同在直线和直线上， 所以，解得，所以， 若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线； 若过点的直线斜率存在， 设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可知，过点的圆的切线方程为与． 【小问2详解】 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 要使得圆上存在符合条件的点，则圆与点的轨迹必有公共点， 又圆的圆心，半径为， 因此可得 整理可得，解得， 所以圆心的横坐标的取值范围为． 17. 在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 平面，平面， ，又，，、平面， 平面， 平面， 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质，结合已知条件由线面垂直推出面面垂直； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件求出直线与平面所成角，进而求出正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于，连接， 平面，平面，． 又，，、平面，平面， 故就是直线与平面所成的角， ，，，， 故是以角为直角的三角形， 又，由，可得． 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为． （1）求的方程； （2）若不过点的直线与交于，两点， ①线段的中点的纵坐标为3； ②的重心在直线上；③．请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线是否存在，若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）选择①②，不能求出直线的方程，理由为： 线段的中点的纵坐标为3，即 的重心在直线上，即，即直线确定需要两个不同的条件，所以若选择①②不能求出直线的方程. 选择①③，选择②③：直线的方程为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义及，求出 （2）分析得知①②条件一样，此题只有①③和②③成立，设出直线的方程，与抛物线联立，根据和线段的中点的纵坐标为3（或的重心在直线上）列两个等式解决. 【小问1详解】 根据抛物线的定义得 所以的方程为： 【小问2详解】 若选择①②，线段的中点的纵坐标为3，即 的重心在直线上，即，即直线确定需要两个不同的条件，所以若选择①②不能求出直线的方程. 若选择①③ 由题意得直线的斜率不为零，设方程为 与抛物线联立得，设 所以，即，根据韦达定理有， 又因为中点的纵坐标为，所以， 又因为 又因为， 故直线的方程为，即 若选择②③，答案同①③ 19. 已知函数． （1）若函数过点，求该点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. （2）利用导数求得的单调区间和极小值，根据题意，列出不等式，即可得答案. （3）由题意得的解析式，可得解析式，根据题意及韦达定理，可得，表达式，整理可得，再结合b的范围确定的关系，利用导数求的最小值，从而得到k的最大值 【小问1详解】 由题意得，所以切线斜率为， 又，即切点为， 所以切线方程为：，即． 【小问2详解】 令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，且时，， 因为在区间上存在零点，则，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题意， 则， 若，则恒成立， 所以两根为，， 所以，， 则 由，设，则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以当时，，所以， 即实数的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，图①是一个边长为的正三角形，周长记为，图②是将图①的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，周长记为，反复进行这一过程得到图③，图④，周长分别记为，，得到数列，设数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）   A. B. C. D. 6. 已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知方程表示曲线，则（ ） A. 曲线表示椭圆，则的取值范围是 B. 时，曲线的离心率为 C. 时，曲线的渐近线方程为 D. ，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 11. 正四面体中，已知平面，平面，点在棱上，下列正确的是（ ） A. 若、分别为棱、的中点，则平面 B. 在棱上存在点，使平面 C. 当为棱的中点时，平面平面 D. 平面与平面所成锐二面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中两点，，向量，，则________，________． 13. 已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求的通项公式； （2）求和：． 16. 在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． （1）若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 17. 在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为． （1）求的方程； （2）若不过点的直线与交于，两点， ①线段的中点的纵坐标为3； ②的重心在直线上；③．请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线是否存在，若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若函数过点，求该点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $