精品解析：河南省焦作市武陟县第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

武陟一中2025级高一年级1月份月考数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知函数，则“”是“为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 5. 设，则比较大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（ ） A. 2019年 B. 2020年 C. 2021年 D. 2022年 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（     ） A. 22 B. 26 C. 28 D. 30 8. 设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 10. 在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 方程有个不同的实数根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________. 13. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________. 14. 已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 16. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 17. 已知是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 18. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 19. 已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，； （1）求证：； （2）试判断在的单调性并用定义证明你的结论； （3）解不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武陟一中2025级高一年级1月份月考数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 2. 已知函数，则“”是“为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 4. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出． 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：． 故选：B． 5. 设，则比较大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质推导出，利用指数函数的性质推导出，由此能求出结果． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题． 6. 某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（ ） A. 2019年 B. 2020年 C. 2021年 D. 2022年 【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产，由求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为， 再过n年（），这家工厂生产这种产品的年产量为， 由得，， 两边取对数得，， 即， 而，故，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点. 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（     ） A. 22 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 8. 设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、方差的线性变换的性质判断选项A，B；利用均值的性质，结合已知条件判断选项C；利用方差的定义，结合计算，进而判断选项D． 【详解】对于A，，，移项得，故A正确； 对于B，，根据方差的线性性质得，故B正确； 对于C，， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确； 对于D，由方差的定义得，则， 由题意得 ，故D错误． 故选：D． 二､多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 10. 在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可. 【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象， 由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 方程有个不同的实数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得出且；结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数. 【详解】函数与直线的图象，如下图所示： 因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A正确； 因为二次函数的图象关于直线对称，则， ，则B正确； 设，因为，所以， 令，则，， 设， 因为，，所以，即函数在上单调递增， 故，即，则C正确； 令，则. 由得，则方程的解为、、、. 当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点 则方程有个不同的实数根，则D错误； 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数据、、、、的上四分位数是， 因此，数据由小到大依次为：、、、、，故. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出实数的值，可得出函数在时的解析式，计算出的值，由奇函数的定义可得出的值. 【详解】奇函数的定义域为，，解得， 则当时，，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也涉及了奇函数定义域的考查，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作分段函数图象，根据二次函数及对数函数的图象和性质结合已知方程分析根的个数和分布情况，从而得出符合条件的的值域范围，进而求出实数的取值范围． 【详解】函数的图象如下图所示， 令： 当时，，开口向下，对称轴为，最大值为， 当时，无解； 当时，有一个解； 当时，有2个解； 当时，有一个解； 当时，单调递减，对任意实数，方程有唯一解 方程可化为关于的方程， 方程恰有6个不相等的实数根， 关于的方程有两个不同实根，且每个根需满足： 当时，有2个解，则， 当时，有1个解，恒成立， 总解数为，满足条件， 令， 则，解得：． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂运算法则和对数运算法则计算求解即可； （2）结合指数幂的运算法则，借助完全平方公式计算即可求解； （3）先利用指对互化得，，然后借助对数换底公式计算即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，则，即， ，又，则，故， 故. 【小问3详解】 因为，，所以，， 所以. 16. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； 【小问3详解】 第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 17. 已知是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值； （2）利用参变量分离法可得出，求出在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为为奇函数，所以，即， 整理得． 因为上式对恒成立，所以． 【小问2详解】 解：因为，所以，所以， 令，， 因为在上单调递增，因为，则，， 所以，， 所以要使在上有解，只需要． 因此，实数的取值范围是. 18. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【小问1详解】 设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. 【小问2详解】 设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 19. 已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，； （1）求证：； （2）试判断在的单调性并用定义证明你的结论； （3）解不等式 【答案】（1）证明： 令，得，解得 再令，则 所以 （2）增函数；证明如下： 设，则， 因为时， 所以 由（1）知 所以 所以在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）使用赋值法，先令求得，然后再令可证； （2）先设，然后用代换中的，结合时，可证； （3）先用赋值法求得，然后将不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在上为增函数，证明略； 【小问3详解】 因为， 所以，得， 又因为， 所以， 所以 由上可知，是定义在上为增函数 所以，原不等式， 解得，即原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $