精品解析：四川省成都市邛崃市邛崃市第一中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级期末质量监测数学 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上的相应位置． 3．试卷中横线上及注有“”的地方，是需要考生在答题卡上作答的内容．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试卷上答题无效；A卷选择题及B卷选择题需要在答题卡的相应位置用2B铅笔规范填涂． A卷（共100分） 一、，选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个几何体，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 10. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 11. 如图，，，的长为______． 12. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 13. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算 （1）计算： （2）解方程： 15. 某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下： “平均每天观看纪录片时长”频数表 观看时长（min） 频数（人） 频率 2 6 18 4 （1）频数分布表中，__________，_______，请将频数分布直方图补充完整； （2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人； （3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 16. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 17. 如图，四边形中，，，，，，为边上一点（不与、重合），过点作，交于． （1）求的长； （2）求证：； （3）若，求的长． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点为线段上一点，且，连接、，求； （3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则________． 20. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则 _____． 22. 如图，在菱形中，，，反比例函数的图象经过菱形的顶点，则实数的值为______． 23. 已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 五、解答题（本大题共3个小题，每题10分，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标； （3）点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）． 26. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末质量监测数学 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上的相应位置． 3．试卷中横线上及注有“”的地方，是需要考生在答题卡上作答的内容．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试卷上答题无效；A卷选择题及B卷选择题需要在答题卡的相应位置用2B铅笔规范填涂． A卷（共100分） 一、，选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个几何体，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，几何体的俯视图就是从几何体的上方看到的几何体的平面图形，解决本题的关键是根据几何体的形状判断几何体的俯视图． 【详解】解：A选项：球的俯视图是圆，故A选项不符合题意； B选项：正方体的俯视图是正方形，故B选项不符合题意； C选项：三棱柱的俯视图是三角形，故C选项符合题意； D选项：四棱台的俯视图是大正方形里面有一个小正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：B． 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例，可知，然后结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦，根据正弦函数的定义，在直角三角形中， 等于的对边与斜边的比值． 【详解】解：如下图所示， 在中，，斜边为，的对边为， ． 故选：C． 6. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质：当时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上有三个点，，，其中，且， ∴． 故选：B． 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可． 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得： ； 整理得：， 令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与x轴只有一个公共点， 第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上， ，且，解得：，且， ； 第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上， 对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴， 且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可． 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影． 10. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 11. 如图，，，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．由题意可得，再结合相似三角形的性质，得出，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（k是常数）的图象上，， ∴， ∵， ∴反比例函数图象上分布在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先将负整数幂，三角函数，绝对值，0次幂化简，再进行计算； （2）用因式分解法求解即可． 本题主要考查了特殊角度的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握各个特殊角度的三角函数值，以及解一元二次方程的方法和步骤． 【小问1详解】 原式 ， ． 【小问2详解】 解： 解： 解得：， 15. 某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下： “平均每天观看纪录片时长”频数表 观看时长（min） 频数（人） 频率 2 6 18 4 （1）频数分布表中，__________，_______，请将频数分布直方图补充完整； （2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人； （3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1），10，图见解析 （2）52人 （3） 【解析】 【分析】题考查列表法与树状图法、频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、用样本估计总体等知识． （1）用频率除以相对应的频率求出调查的学生人数，再用18除以调查的学生人数可求出a的值，用总人数乘以观看时间为分的频率即可求出b，补全频数分布直方图即可． （2）用总人数乘以观看时间为分的频率即可得到答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查学生的人数为：（人） ∴， 人， 故答案为：，10． 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 （人）， 即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人． 【小问3详解】 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：． 16. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 17. 如图，四边形中，，，，，，为边上一点（不与、重合），过点作，交于． （1）求的长； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）4； （2）证明见详解； （3）或． 【解析】 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，过作，过作，证明，求出即可得到答案； （2）本题考查三角形相似的判定，根据，得到，即可得到证明； （3）本题考查三角形相似的性质，根据得到，代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：过作，过作， ∵， ， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设， ∴， 解得：，， ∴或． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点为线段上一点，且，连接、，求； （3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：，直线的表达式为： （2）3 （3）存在，、点或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：连接、， 由一次函数的表达式知，点， 则， ， 则； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意得，，， 过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 当时， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 即、点或点、点． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． B卷 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可； 【详解】由可设，，k是非零整数， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 20. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点D作于点E，设与x轴交于点G，根据等腰直角三角形的性质求出，用代入法求出的解析式为，进而求出点G的坐标为，根据勾股定理求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，结合相似三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，设与x轴交于点G， ∵点B的坐标为， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 设的解析式为， 把A，D代入得， ， ∴， ∴的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在菱形中，，，反比例函数的图象经过菱形的顶点，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，菱形的性质，解直角三角形，作轴，垂足为，由菱形的性质可得，，即得，得到，再代入反比例函数解析式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，则， ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过菱形的顶点， ∴， 故答案为：． 23. 已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．根据二次函数图象与x轴有交点，可得判别式，解得或；由二次函数开口向下，且当时y随x增大而减小，可得对称轴，结合判别式结果可得a的取值范围． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴判别式， 即， 化简得， 解得或． ∵二次函数开口向下，对称轴为， 且当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴满足． 综合以上，得或． 故答案为：或． 五、解答题（本大题共3个小题，每题10分，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月平均增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标； （3）点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移可求，将点A的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式； （2）过点作轴交于，设，可求，由可求解； （3）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解． 【小问1详解】 解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为， ， 点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线的解析式为，即． 令，则， 解得：，， ； ， 的面积为， ， ， ， 解得：，， ∴． 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于， 设，则， ， ． ∴当此时E点坐标为． 【小问3详解】 解：如图，是的中点，在直线上运动， ， ， 当取得最小值时，的值最大， ， 当取得最小值时，的值最大， 当垂直直线时，取得最小值， 此时、在二次函数的对称轴直线上， ， 根据对称性，存在， 故：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与三角形面积计算，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键． 26. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求得； （2）过点作于点，设，利用勾股定理列方程即可求得； （3）连接，通过论证三角形相似及等边对等角进行线段的转换即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）； 【小问3详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $