第24章圆寒假巩固卷2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章 圆 寒假巩固卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 2．（本题3分）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 4．（本题3分）工人师傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆形，下列四种圆弧形工件，能判断其为半圆形的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（    ） 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（本题3分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则AD长为（　　） A．8 B．5 C． D． 10．（本题3分）如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 11．（本题3分）已知P是外一点，用直尺和圆规过点P作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于A，B两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点A．以点A为圆心，为半径画弧，交于点B． ②连接，就是的切线． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 12．（本题3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）如图，中，点A，B，C在圆上，若，则的大小是 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．（本题4分）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为 ． 15．（本题4分）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 16．（本题4分）《周髀算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现．图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”．图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点，正方形的边长是圆上的动点，若的最小值为，则的面积为 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 18．（本题10分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 19．（本题10分）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 20．（本题10分）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 21．（本题10分）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 22．（本题12分）在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． (1)求证：与相切于点D； (2)若，求的半径． 23．（本题12分）如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 24．（本题12分）综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 25．（本题12分）阅读课本中这样一段话：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 【初步运用】 （1）如图，矩形的对角线，相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【拓展应用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图，，若，求的度数． 【方法迁移】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点P是y轴上任意点．当最大时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 圆 寒假巩固卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 2．（本题3分）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 3．（本题3分）已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在内． 故选A． 4．（本题3分）工人师傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆形，下列四种圆弧形工件，能判断其为半圆形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】根据直径所对的圆周角是直角对四个工件进行分析即可得到答案． 本题主要考查了圆周角定理,找准圆周角是解题关键． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有选项正确，其他均不正确． 故选：． 5．（本题3分）青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 6．（本题3分）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解： ， ， 故选C． 7．（本题3分）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．（本题3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（本题3分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则AD长为（　　） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【详解】解：连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）； 又∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴D点为半圆AB的中点， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD=AB÷ = cm． 10．（本题3分）如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角的性质，圆内接四边形的性质及圆周角定理． 在优弧上取一点D，连接，，先分析外角与内角的邻补角关系，再构造圆内接四边形，利用对角互补性质推导出与的关系，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 11．（本题3分）已知P是外一点，用直尺和圆规过点P作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于A，B两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点A．以点A为圆心，为半径画弧，交于点B． ②连接，就是的切线． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，等边三角形的判定与性质．甲：连接、，求得，即可证明、是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴、是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 12．（本题3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）如图，中，点A，B，C在圆上，若，则的大小是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 14．（本题4分）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为 ． 【答案】8 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 延长交于点E，连接，证得，进而得到，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接， 则 为的直径 、 故答案为：8． 15．（本题4分）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 【答案】/144度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 16．（本题4分）《周髀算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现．图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”．图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点，正方形的边长是圆上的动点，若的最小值为，则的面积为 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题．如图，当点B在线段时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】解：如图，取正方形对角线交点，则交点为O，点为上一点，连接， 由三角形三边关系可得，， ∵是圆的半径，为定值，当点B在线段时，取得最小值， ∵， ∴， ∵的最小值为， ∴的半径， 则的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【知识点】线段垂直平分线的性质、求弧长、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 18．（本题10分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为r，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，是直径，是弦， （2）解：由(1)可知 连接， 设半径r，则 在中， ， 解得 19．（本题10分）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求解其他问题、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 20．（本题10分）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求,． （2）解：， ∴点B的运动路径长为 21．（本题10分）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，，如图① ∵，， ∴． （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 22．（本题12分）在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． (1)求证：与相切于点D； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)2 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查角平分线，切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理等，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义和等边对等角，得到，从而，易证，即可求证； （2）连接，根据圆周角定理，可得，根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，求出，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是的半径， 与相切于点D； （2）解：如图2，连接， 是的直径， ， ，， ，则 在中，， ， 设半径为r，则， 在中，， ， 由勾股定理得，， 解得， 则的半径为． 23．（本题12分）如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，求扇形面积； （1）首先连接，由弦，劣弧的度数为，证得是等边三角形，则可求得的长； （2）由，是等边三角形，可求得，即可得，又由等边三角形的性质可得，，则可证得，继而证得是的切线； （3）根据阴影部分面积，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 弦，的度数为， 与的度数等于， ． ， 是等边三角形， ． （2）证明：，， ， ． 是等边三角形， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：∵，， ∴ ∴ ∴， ∴阴影部分面积． 24．（本题12分）综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 【答案】（）；（）；（）；（）． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、等边三角形的性质、求弧长、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，等边三角形的性质，圆的弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用圆的有关性质解答即可； （）利用正方形的性质，点的运动轨迹的特征解答即可； （）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用圆的弧长公式解答即可； （）利用“莱洛三角形”的特征，分别对“最高点”和“车轮轴心”的运动轨迹进行分析即可得出结论． 【详解】解：（）连接并延长交于点，如图， ∵车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， ∴轴心到地面的距离为， ∵圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离不变等于圆的直径， ∴车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （）过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图， ∵为正方形的中心，， ∴中心距离地面的最低距离为， 由勾股定理得：， ∵点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧， ∴点为车轮轴心距离地面的最高点， ∵ ∴车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 故答案为：； （）连接，，过点作于点，如图， ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为； （）由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为：， 故答案为：． 25．（本题12分）阅读课本中这样一段话：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 【初步运用】 （1）如图，矩形的对角线，相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【拓展应用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图，，若，求的度数． 【方法迁移】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点P是y轴上任意点．当最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点P的坐标为或 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、圆周角定理、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质可得，进而即可证明A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）以点A为圆心，为半径作圆，根据可得点C、D必在上，进而根据圆周角定理求解即可； （3）由题意得，当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，为半径的圆上； （2）如图，以点A为圆心，为半径作圆， ∵， ∴点C、D必在上， ∵是的圆周角，且是圆心角， ∴ ； （3）如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵，， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，切点为P，连接，则轴 过点C作于点M，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴点P的坐标为， 同理，当点P位于y轴负半轴时，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $