第22章二次函数寒假巩固卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版2025-2026学年第一学期九年级数学寒假巩固卷答案解析 第22章二次函数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．                     抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 2．（本题3分）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3．（本题3分）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 4．（本题3分）已知二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求二次函数一般式的系数，将已知点的坐标直接代入函数式求解是解题的关键． 根据点在二次函数图象上，代入即可求出的值． 【详解】∵ 二次函数的图象经过点， ∴ 当时，． 代入函数得：， ∴． 故选：D． 5．（本题3分）把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 6．（本题3分）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 7．（本题3分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 9．（本题3分）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解： ， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 10．（本题3分）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，比较各点到对称轴的距离，距离越大函数值越小，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 11．（本题3分）二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系，根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，进而可得的解集 【详解】解：根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，过点 ∴不等式的解集为或 故选：B． 12．（本题3分）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得进行求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．如图所示： 点，的横坐标分别为，，已知正方形的顶点，在二次函数的图象上， ， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵点，在轴的同侧， ， ， 故选：B． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 14．（本题4分）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 15．（本题4分）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【知识点】二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 16．（本题4分）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 【答案】(1)向上 (2) (3)直线 (4)，小， (5) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握二次函数图象开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性是解题的关键． （1）中，开口向上，，开口向下； （2）中顶点坐标为； （3）中是对称轴； （4）根据顶点坐标可得二次函数最值； （5）根据增减性即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴函数图象开口向上； （2）解：的顶点坐标为； （3）解：的对称轴为； （4）解：中当时，二次函数有最小值，最小值为； （5）解：的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 18．（本题10分）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 19．（本题10分）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，的取值范围为． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、将化为顶点式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将，代入二次函数解析式后，再化为顶点式即可得解； （2）结合二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， 得， 解得， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数解析式为，对称轴为直线， 又二次项系数， 该二次函数在时取最大值，离对称轴越远值越小， 在这个范围内， 时，取最大值， 又， 时，， 故当时，的取值范围为． 20．（本题10分）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2)小罗此次射门不能射入球门内，理由见解析． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 21．（本题10分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)当矩形羊圈的面积S最大时，求出此时的长并求出S的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数关系式． （1）根据栅栏总长列式得出函数关系式，再根据，及外墙长列不等式组解决即可； （2）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （2）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 22．（本题12分）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）销售单价应定为元或元； （3）销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数与一次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式以及关于的函数解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 23．（本题12分）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，两点间距离公式，注意分情况讨论是解题的关键． （1）将代入，求出c的值，可得的解析式；令求出y的值，可得点的坐标； （2）当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况：当点P在y轴上，点P在x轴上，根据，利用两点间距离公式列方程，分别求解． 【详解】（1）解：将代入，得 解得， ∴二次函数的解析式为 ∵点是二次函数与轴的交点 ∴点的横坐标为0 将代入解析式中，求得， ∴点的坐标为； （2）解：存在．当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况： ①当点P在y轴上时，， 设 ∵，， ∴， 解得， 此时； ②当点P在x轴上时，， 设， ∵，， ∴， 解得， 此时， 综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形． 24．（本题12分）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． (1)求抛物线的解析式； (2)为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，求自变量的取值范围等知识，解题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）利用抛物线的对称轴列式计算即可； （2）根据题意，设抛物线的解析式为，，再将代入求值即可； （3）先根据题意，抛物线的解析式为，再将代入整理得，，最后根据的取值范围，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ． 根据题意，设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点M到地面的距离为米． （3）解：由题意得，，， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 又抛物线的顶点的纵坐标为， 抛物线的解析式为， 将代入得，， 整理得，， 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）； 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）． 且， 当时，． 答：当时，m的取值范围是． 25．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)①，②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可； （2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； （2）解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年第一学期九年级数学寒假巩固卷 第22章二次函数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 4．（本题3分）已知二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 5．（本题3分）把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） 第6题图 第7题图 A．； B．； C．； D．． 7．（本题3分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题3分）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 10．（本题3分）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（本题3分）二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 12．（本题3分）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 14．（本题4分）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 第14题图 第15题图 第16题图 15．（本题4分）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（本题4分）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 18．（本题10分）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 19．（本题10分）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 20．（本题10分）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 21．（本题10分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)当矩形羊圈的面积S最大时，求出此时的长并求出S的最大值． 22．（本题12分）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（本题12分）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 24．（本题12分）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． (1)求抛物线的解析式； (2)为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 25．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $