精品解析：北京市延庆区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

2025—2026学年第一学期期末试卷（一）八年级数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效知． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 苏州园林窗是数学与建筑的融合，如同诗意的立体画布．下面这四个窗棂纹中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≤1 C. x≥1 D. x＜1 3. 有张背面相同，正面分别印有，，，的卡片，现将这张卡片背面朝上，从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 用一副三角板按如图所示方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知．若为整数且，则的值为（ ） A. 35 B. 34 C. 33 D. 32 8. 如图，在中，，点是中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若分式的值为0，则的值为___________． 10. 如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是_______． 11. 计算：___________． 12. 方程的解为___________． 13. 如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 14. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 15. 一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是___________． 16. 如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是___________． 三、解答题（共68分，17题4分，18题8分，19题5分，20题4分，21题6分，22题7分，23题5分，24-25题6分，26题5分，27题7分，28题5分） 17. 计算：． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程： 20. 如图，、相交于点，且．求证：． 21. 已知：，求代数式的值． 22. 已知：和边上一点． 求作：，使． 下面是利用直尺和圆规作图的思路： ①作的角平分线； ②以点为圆心，为半径作弧，与交于点，连接； ③延长至． 则． （1）使用直尺和圆规，根据上面的思路在图1中完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）完成下面的证明； ∵平分， ∴． ∵， ∴ ① （ ② ）． ∴． ∴（ ③ ）． ∴． （3）请你再另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 23. 近年来，延庆区无人机产业在多个领域蓬勃发展，开通北京首条无人机配送航线备受关注．张山营邮政所至冬奥村游客中心的直线距离仅5公里，但地面配送需绕行25公里盘山公路，雨雪天气通行较为困难，为了提高物流效率，2025年12月12日延庆开通邮政无人机航线，配送时间比原来节省了40分钟．若该款无人机的平均速度是物流车平均速度的3倍，求无人机的平均速度． 24. 阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，， ，求证：． 小明研究发现，在上截取，连接，经过推理和计算就能解决问题． （1）请根据小明思路完成本题的证明过程； （2）利用（1）中的结论解决问题：如图，在中，，且，．求点到直线的距离． 25. 对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． （1）计算：__________；__________； （2）若，则满足条件的的取值范围是__________． （3）如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 26. 从“特殊到一般”是研究数学问题的一般思路，某兴趣小组探索：“任意一组都不为0的实数，当时，判断分式与的大小关系”，进行了如下的操作： （1）特殊化探索：找3组满足已知条件的具体的数进行验证、得到猜想． 填写下面的表格： ① ② ③ … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：____________（填“”“”或“”）； （2）一般化探索：任意一组都不为0的实数，当时，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 27. 如图，是等边三角形，点是上任意一点，连接，，点关于直线的对称点为，连接，作射线，与的延长线交于点． （1）依题意补全图形； （2）求出的度数； （3）用等式表示之间的数量关系，并证明． 28. 对于线段与点（点不在直线上）给出如下定义：点是线段上动点，把线段长度的最小值称为点到线段的距离．记作． （1）如图1，线段，点到线段的两个端点的距离相等，且，则点到线段的距离为_________； （2）如图2，线段与射线的夹角为，且，在射线上取一点，且，过点作直线，点为直线上一点，且到线段的距离为2，求点到射线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末试卷（一）八年级数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效知． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 苏州园林的窗是数学与建筑的融合，如同诗意的立体画布．下面这四个窗棂纹中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形识别，熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≤1 C. x≥1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则有：成立， 即，∴， 故选B ． 【点睛】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键 ． 3. 有张背面相同，正面分别印有，，，的卡片，现将这张卡片背面朝上，从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可．此题考查的是概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：一共有张卡片，其中整数有个，故从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为． 故选：D． 4. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 7. 已知．若为整数且，则的值为（ ） A. 35 B. 34 C. 33 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 8. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若分式的值为0，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件．分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：2． 10. 如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是_______． 【答案】或或或（选其中一个条件即可）．本题答案不唯一． 【解析】 【分析】已知，图形条件，可以从角，边两方面添加条件． 【详解】添加的条件：或，此时； 添加的条件：或，此时； 故答案为：或或或（选其中一个条件即可）．本题答案不唯一． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，通过去分母转化为整式方程求解，并需验根确保分母不为零． 将分式方程转化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：原方程为， 去分母得：， 解得， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为： 13. 如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 14. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，8是有理数， 8的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出的数是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在边上截取，连接，过点作于点，先证，得到，从而得到当点、、三点共线时，最小，最小值为，然后根据含角直角三角形的性质，勾股定理，分别在和中，解直角三角形求得的长即可． 【详解】解：如图所示，在边上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线，， ， 又， ， ， 当点、、三点共线时，最小，最小值为， 在中，， ， ， ，， 在中，， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段和差的最值问题，涉及对称的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是根据对称性构造辅助线将线段和最值问题转化为两点之间线段最短问题． 三、解答题（共68分，17题4分，18题8分，19题5分，20题4分，21题6分，22题7分，23题5分，24-25题6分，26题5分，27题7分，28题5分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法，熟记“同分母分式的加法法则”是解答本题的关键．按照同分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质，立方根和绝对值的性质化简，再计算即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的性质化简，再计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 解方程： 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是关键．方程两边都乘化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 两边同乘得：， 展开：， 化简：， 解得， 检验：时，，故是增根， 所以原方程无解． 20. 如图，、相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质．根据，可得，，结合，可证明，即可得到． 【详解】证明：， ，， 在和中， ， ， ． 21. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 22. 已知：和边上一点． 求作：，使． 下面是利用直尺和圆规作图的思路： ①作的角平分线； ②以点为圆心，为半径作弧，与交于点，连接； ③延长至． 则． （1）使用直尺和圆规，根据上面的思路在图1中完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）完成下面的证明； ∵平分， ∴． ∵， ∴ ① （ ② ）． ∴． ∴（ ③ ）． ∴． （3）请你再另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 【答案】（1）见解析 （2）；等边对等角；内错角相等，两直线平行 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质． （1）按照题意，作图即可； （2）利用角平分线的概念可得，再利用等腰三角形的性质可得，根据平行线的判定和性质即可解答； （3）利用作一个角等于已知角即可解答． 【小问1详解】 解：补全作图，如下图： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴（等边对等角）． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴． 故答案为：；等边对等角；内错角相等，两直线平行； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 23. 近年来，延庆区无人机产业在多个领域蓬勃发展，开通的北京首条无人机配送航线备受关注．张山营邮政所至冬奥村游客中心的直线距离仅5公里，但地面配送需绕行25公里盘山公路，雨雪天气通行较为困难，为了提高物流效率，2025年12月12日延庆开通邮政无人机航线，配送时间比原来节省了40分钟．若该款无人机的平均速度是物流车平均速度的3倍，求无人机的平均速度． 【答案】105公里/小时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设无人机的平均速度为x公里/小时，则物流车平均速度为公里/小时，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设无人机的平均速度为x公里/小时，则物流车平均速度为公里/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：无人机的平均速度为105公里/小时． 24. 阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，， ，求证：． 小明研究发现，在上截取，连接，经过推理和计算就能解决问题． （1）请根据小明的思路完成本题的证明过程； （2）利用（1）中的结论解决问题：如图，在中，，且，．求点到直线的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半等，证明出所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． （1）在上截取，连接，再通过角度得计算和边相等证明为等边三角形，为等腰三角形，推出，即可证明； （2）先过点作交延长线于点，即为点到直线的距离，再通过边相等证明为等腰三角形，得到，然后通过外角得出，最后根据（1）得出的结论求解即可． 【小问1详解】 解：证明：∵在中，， ， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴为等腰三角形， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 过点作交延长线于点，即为点到直线的距离， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ∵为的外角， ∴． ∵在中，，， 由（1）得结论可推出：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， ∴， ∴． 25. 对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． （1）计算：__________；__________； （2）若，则满足条件的的取值范围是__________． （3）如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； 小问2详解】 ∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 从“特殊到一般”是研究数学问题的一般思路，某兴趣小组探索：“任意一组都不为0的实数，当时，判断分式与的大小关系”，进行了如下的操作： （1）特殊化探索：找3组满足已知条件的具体的数进行验证、得到猜想． 填写下面的表格： ① ② ③ … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：____________（填“”“”或“”）； （2）一般化探索：任意一组都不为0的实数，当时，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质、分式的加减运算等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键． （1）采用特殊值法进行验证即可解答； （2）由，给左右两边同时加1，然后再进行运算化简即可解答． 【小问1详解】 解： ① 1 1 2 2 2 2 ② 2 1 4 2 3 3 ③ 1 2 2 4 … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：； 【小问2详解】解：成立，证明如下： ∵， ∴，即， ∴． 27. 如图，是等边三角形，点是上任意一点，连接，，点关于直线的对称点为，连接，作射线，与的延长线交于点． （1）依题意补全图形； （2）求出的度数； （3）用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先根据轴对称的性质得得出，，再根据等边三角形的性质得出．，从而可证明，于是可得，再结合，，可证明是等边三角形，从而可求得； （3）先证明是等边三角形，再证明，从而可得，再结合轴对称的性质得出，从而可得． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图，延长到，使得，连接， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵是等边三角形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和与中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 【小问3详解】 解∶． 证明∶​延长到，使得，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 又、E关于对称， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），等边三角形的判定和性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 28. 对于线段与点（点不在直线上）给出如下定义：点是线段上动点，把线段长度的最小值称为点到线段的距离．记作． （1）如图1，线段，点到线段的两个端点的距离相等，且，则点到线段的距离为_________； （2）如图2，线段与射线的夹角为，且，在射线上取一点，且，过点作直线，点为直线上一点，且到线段的距离为2，求点到射线的距离． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是结合定义与几何性质，通过构造直角三角形求解． （1）利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出点到的垂直距离； （2）设直线与线段交于点，考虑在上方或下方两种情况，运用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，过点作于， ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴点到线段的距离； 故答案为：； 【小问2详解】 设直线与线段交于点， ①如图，当在上方， 过作于，则， ∵线段与射线的夹角为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当在下方， 过点作，与交于点，易得． ∵， ∴此时点在点下方，为线段的长． 在中，， 即点到射线的距离为． 综上所述，点到射线距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $