精品解析：北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

延庆区2024-2025学年第一学期期末试卷 八年级数学 2025.01 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题(共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B. 画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C. 画一个三角形，它的内角和是 D. 把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 3. 分式有意义，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 8. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(共16分，每小题2分) 9. 16的算术平方根是___________． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 11. 如图，在中，，点D在边的延长线上，，则的度数为______． 12. 已知，则______． 13. 一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是______． 14. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是______． 15. 如图，在中，，平分，，，则的面积是_______． 16. 如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题(共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27题7分；28题5分) 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2） 19. 如图，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)． 已知：如图，在中，． 求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取的中点F，连接． 请选择一种方法补全证明过程． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 23. 如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E． （1）依题意补全图形； （2）判断△ADE的形状，并证明． 24. 如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中任何一个，都可以使．” （1）小明说法_______(填“正确”或“错误”)； （2）从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 25. 某中学组织学生到离家的郊区体验农耕劳动，一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后乘汽车前往，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达郊区，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度 26. 尺规作图： 已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P． 求作：直线PQ，使直线PQMN． 小智作图思路如下： ①如何得到两条直线平行？ 小智想到，自己学习线与角时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”． ②如何得到两个角相等？ 小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”． ③画出示意图： ④根据示意图，确定作图顺序． （1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵AB平分∠PAN， ∴∠PAB＝∠NAB． ∵PA ＝PQ， ∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）． ∴∠NAB ＝∠PQA． ∴PQMN （ ② ）． （3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 27. 如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． （1）依题意补全图形； （2）判断和的数量关系，并证明； （3）求证：． 28. 我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在中，，，，． （1）下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； （2）若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； （3）若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2024-2025学年第一学期期末试卷 八年级数学 2025.01 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题(共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B. 画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C. 画一个三角形，它的内角和是 D. 把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，三角形内角和，勾股定理，实数的定义．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； C、画一个三角形，它的内角和是，是必然事件，不符合题意； D、，则把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 3. 分式有意义，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 4. 若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： 第三边的长度，即． 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可． 【详解】解：A．线段是边上的高，故不符合题意； B．线段不是任何边上的高，故不符合题意； C．线段是边上的高，故不符合题意； D．线段是边上的高，符合题意； 故选D． 8. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论． 【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示： ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴点重合， ∴符合条件的点P有2个； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题(共16分，每小题2分) 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9， 故答案为：x≥9． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 11. 如图，在中，，点D在边的延长线上，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，得到，，解得，的值，代入，即可求解， 本题考查了，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求代数式的值，解题的关键是：熟练掌握根据非负性，确定代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 13. 一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，一共有3种等可能的结果，其中摸到的是红球的结果有2种，根据此可计算出摸到红球的可能性． 【详解】解：根据题意可知一共有3种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种， 故：， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算事件发生的可能性，能够根据事件分析出可能出现的结果数，以及符合要求的结果数是解决本题的关键． 14. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是______． 【答案】##边角边 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 15. 如图，在中，，平分，，，则的面积是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于H， 是的平分线，，， ， 的面积． 故答案为：2． 16. 如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质．熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得，再根据等边三角形性质得，得是等边三角形；故②正确；由②得，，进而得出与不全等；故③不正确；关于直线的对称点为，利用对称性得出的最小值等于，故④正确；进而得出结果． 【详解】解：①点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； 故①正确； ②设与交于点， 点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； ， 又， ， 是等边三角形，是的中线， ， ， 又， 是等边三角形； 故②正确； ③由②得， ， ， 与不全等； 故③不正确； ④作如图点，设关于直线的对称点为， 与关于直线对称， ，， 是等边三角形，是的中线， 与关于直线对称， ， ， ， 当点，，三点共线时，为最小值， 即， 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题(共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27题7分；28题5分) 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可； （2）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以，得， ， ， ， ， ， 检验：当时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ； 检验：当时，最简公分母，原方程中的分式无意义； 所以原方程无解． 19. 如图，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ． 20. 在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)． 已知：如图，在中，． 求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取的中点F，连接． 请选择一种方法补全证明过程． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 甲同学得方法中，通过作角平分线，可得，再根据，即可得出，从而证明；乙同学的方法中，通过作垂线线，可得，再根据，即可得出，从而证明；丙同学得方法中，通过作中线，可得，再根据，即可得出，从而证明． 【详解】证明：甲同学的方法： 证明：如图，作的平分线交于点D． ， 在和中， ， ， ． 乙同学的方法： 证明：如图，作于点E． ， 在和中， ， ， ． 丙同学的方法： 证明：如图，取的中点F，连接． ， 在和中， ， ， ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握混合运算的运算法则． 先对括号里进行通分、合并同类项，然后进行乘除运算化为最简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 22. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 【答案】（1）甲（或乙）；（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；（3）详见解析. 【解析】 【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可. 【详解】解：（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）正确解答过程如下： . 【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开. 23. 如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E． （1）依题意补全图形； （2）判断△ADE的形状，并证明． 【答案】（1）见详解； （2）△ADE为等边三角形，证明见详解． 【解析】 【分析】（1）利用作∠ADE=∠B，作出∠ADE的边DE，利用同位角相等两直线平行得出DE∥BC； （2）根据等边三角形性质∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线性质得出∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°即可 【小问1详解】 解：过点D作∠ADE=∠B， ∵∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， 【小问2详解】 解：△ADE为等边三角形， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°， ∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°， ∴△ADE为等边三角形 【点睛】本题考查作平行线，作一个角等于已知角，等边三角形性质与判定，平行线性质，掌握作平行线方法，作一个角等于已知角基本作图，等边三角形性质与判定，平行线性质是解题关键． 24. 如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” （1）小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； （2）从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【答案】（1）错误 （2）①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的个条件逐一分析判断即可； （2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明即可． 【小问1详解】 解：对于小明同学写出的个条件， 选择条件①时，可以利用证明， 选择条件②时，可以利用证明， 选择条件③时，可以利用证明， 选择条件④时，利用不能证明， 选择条件⑤时，可以利用证明， 选择条件⑥时，可以利用证明， 小明说法错误， 故答案为：错误； 【小问2详解】 解：补全图形如下： 选择条件①时，证明如下： 是的角平分线， ， 和中， ， ； 选择条件②时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件③时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件④时，利用不能证明； 选择条件⑤时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 选择条件⑥时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 故答案为：①或②或③或⑤或⑥． 25. 某中学组织学生到离家的郊区体验农耕劳动，一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后乘汽车前往，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达郊区，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度 【答案】自行车的速度是16千米/小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑车和乘骑车两种交通方式所需时间之间的关系，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：自行车的速度是16千米/小时． 26. 尺规作图： 已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P． 求作：直线PQ，使直线PQMN． 小智的作图思路如下： ①如何得到两条直线平行？ 小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”． ②如何得到两个角相等？ 小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”． ③画出示意图： ④根据示意图，确定作图顺序． （1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵AB平分∠PAN， ∴∠PAB＝∠NAB． ∵PA ＝PQ， ∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）． ∴∠NAB ＝∠PQA． ∴PQMN （ ② ）． （3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 【答案】（1）图见解析（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；（3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意即可尺规作图进行求解； （2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解； （3）作PH⊥MN于H点，再作PH⊥PQ即可． 【详解】（1）如图1，PQ即为所求； （2）证明：∵AB平分∠PAN， ∴∠PAB＝∠NAB． ∵PA ＝PQ， ∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）． ∴∠NAB ＝∠PQA． ∴PQMN （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行； （3）如图2，PQ为所求． 【点睛】此题主要考查尺规作图的运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行线的判定、垂直平分线的作法． 27. 如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． （1）依题意补全图形； （2）判断和的数量关系，并证明； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）；见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与以及性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定以及性质． （1）依题意补全图形即可． （2）由直角三角形两锐角互余可得出，由垂线的定义得出，则，等量代换可得出． （3）连接．由等腰三角形的判定以及性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下； 【小问2详解】 解：数量关系：； 证明：于点E， 是的高， ． ． 【小问3详解】 证明：连接． ，， ． 是的高， ． ． ． 点E是的中点， ，． ， ， ． 由（2）知，， 在与中， ， ． 28. 我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：中，，，，． （1）下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； （2）若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； （3）若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 【答案】（1）①③ （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，可得所对的角为，根据“关联三角形”的定义即可得答案； （2）分顶角为时，顶角为时，顶角为时三种情况，分别根据“关联三角形”的定义即可得答案； （3）当为直角三角形，且角所对的边为时，根据勾股定理及完全平方公式即可求出最大值为，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，有最大值，此时有最大值，得出是等边三角形，即可求出，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，边上的高最大，则有最大值，根据勾股定理及含角的直角三角形的性质可得，比较即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，所对的角为， ∵图①中角所对的边为，中角所对的边为， ∴图①是的“关联三角形”， ∵图②中角所对的边为，两个锐角都是， ∴图②不是的“关联三角形”， ∵图③中三边都为， ∴图③中三角形为等边三角形，三个角都为， ∴图③是的“关联三角形”， ∵图④中角所对的边不等于， ∴图④不是的“关联三角形”， 故答案为：①③ 【小问2详解】 解：当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 故答案为：，， 【小问3详解】 解：当为直角三角形，且角所对的边为时，设两直角边分别为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知，当时，有最大值，此时有最大值， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知：当时，边上的高最大，则有最大值，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质及完全平方公式，正确理解“关联三角形”的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$