精品解析：广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期学业水平调研测试 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．根据俯视图是从上面往下看一一判断即可． 【详解】解：A．俯视图是圆，故不符合题意； B．俯视图是长方形，故不符合题意； C．俯视图是有圆心的圆，故不符合题意； D．俯视图是三角形，故符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解法，根据因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 3. 在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AC=3，则tan A=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：△ABC中，∠C=90°，∵BC=4，AC=3，∴tanA==．故选B． 考点：锐角三角函数的定义． 4. 已知，，若周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比的性质直接计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵的周长是， ∴的周长是， 故选：． 5. 某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为）时，视觉效果最佳．若该平台的长边为，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，设短边长度为，由短边与长边的比接近黄金比，则，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设短边长度为， ∵短边与长边的比接近黄金比， ∴，解得， 故选：． 6. 某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如下表： 试验总次数 精准识别次数 精准识别频率 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，频率稳定值可作为概率的估计值，由表可知，试验次数达到次及以上时，频率稳定在附近，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵试验次数为时，精准识别频率均为， ∴频率稳定于， ∴估计概率约为， 故选：． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形一定是轴对称图形 B. 平行四边形一定是中心对称图形 C. 两个相似多边形一定位似 D. 两个位似多边形一定全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对称性、相似多边形与位似多边形的关系，解题的关键是准确掌握轴对称图形、中心对称图形的定义，以及相似与位似、位似与全等的区别和联系． 依据轴对称图形、中心对称图形定义，判断平行四边形的对称性；依据相似、位似、全等的定义与关系，判断相似多边形与位似、位似多边形与全等的关系，确定正确答案． 【详解】A． 普通平行四边形没有对称轴，只有菱形和矩形等特殊类型才有，因此一定是轴对称图形错误，故该选项不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分，绕对角线交点旋转后与原图重合，一定是中心对称图形，故该选项符合题意； C．两个相似多边形对应边不一定平行或对应点连线不一定交于一点，不一定位似，故该选项不符合题意； D．位似多边形是相似多边形，但位似比不一定为1，不一定全等，，故该选项不符合题意； 故选：B 8. 如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，得，，，，所以，然后通过折叠的性质可得，，，，，，，，，，，，，从而得出，然后证明，所以，则，设，，得到，再证明，所以，即，联立，解得或，最后又，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点， ∴，，，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 11. 已知抛物线过，两点，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，直接把，两点代入解析式，再比较和的大小即可，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过，两点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 利用勾股定理求出，可得的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：120 13. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），连接，以为边在其右侧作等边，交于点．那么的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，所以，则，从而得，所以，要使的值最大，需有最小值，根据垂线段最短可得，当时，最小，然后通过勾股定理，直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵要使的值最大， ∴需有最小值，根据垂线段最短可得，当时，最小，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法进行求解方程即可； （2）根据因式分解法进行求解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， , ； 【小问2详解】 解：， ， 或， , ． 15. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 16. 某生命科学实验室进行细胞培养实验．细胞培养液的营养活性浓度（单位：）与培养液的稀释倍数成反比例关系．实验数据显示，当稀释倍数为时，营养活性浓度为． （1）求出与之间的函数表达式； （2）已知培养液的营养活性浓度需满足，为满足细胞培养需求，求培养液稀释倍数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数的性质，得出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵与成反比例关系， 令其函数表达式为， 当时，，代入， 得，解得， 故与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，随的增大而减小， 当时，得，解出； 当时，得，解出； 故的取值范围为． 17. 某校课后服务开设了四类社团：文化类、科创类、艺术类、体育类．每名学生必须且只能选择参加其中一类社团．为了解学生的选择情况，学校随机抽取部分学生进行了问卷调查，并把调查结果制成如下统计图（部分信息未给出）．请根据已有信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并在图上标注相应数据； （2）若全校共有2400名学生，试估计选择“科创类”社团的学生人数； （3）请用列表或画树状图的方法，求童童和豆豆两名同学选择同一类社团的概率． 【答案】（1）见解析 （2）864人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率： （1）用选择“文化类”社团的人数除以其所占的百分比求出调查的总人数，可得到选择“艺术类”社团的人数，即可求解； （2）用2400乘以选择“科创类”社团的学生人数所占的百分比，即可求解； （3）设四类社团：文化类、科创类、艺术类、体育类分别用甲、乙、丙、丁表示，根据题意，列出表格，一共有16种等可能结果，其中童童和豆豆两名同学选择同一类社团的有4种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为人， 选择“艺术类”社团的人数为人， 补全条形统计图，如图： 【小问2详解】 解：人 即选择“科创类”社团的学生人数为864人； 【小问3详解】 解：设四类社团：文化类、科创类、艺术类、体育类分别用甲、乙、丙、丁表示，根据题意，列出表格，如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、甲 乙、甲 丙、甲 丁、甲 乙 甲、乙 乙、乙 丙、乙 丁、乙 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丙 丁、丙 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 丁、丁 一共有16种等可能结果，其中童童和豆豆两名同学选择同一类社团的有4种， 所以童童和豆豆两名同学选择同一类社团的概率为． 18. 某公司生产一种成本价为元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量（台）与销售单价（元）满足，设销售该无人机每月的利润为（元）． （1）求与之间函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键． （1）利用利润的公式进行计算即可； （2）将（1）中的函数表达式变换为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 故与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 故当时，的值最大，为， 故当销售单价定为元时，每月的利润最大，最大利润是元． 19. 四边形是研究几何性质的重要载体．结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，完成以下探究：（注：图2、图3为示意图，若计算结果存在多种情形，请保留结果．） （1）在四边形中，已知． ①如图1，以各边向外作正方形，面积分别，，，；若，那么___________； ②如图2，若，求的值． （2）如图3，在四边形中，若，，，且，求的度数． 【答案】（1）①35；②24或7 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）①根据勾股定理可得，再由，即可求解；②连接，在和中，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理求出，然后分两种情况：当时，当时，结合勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：①在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：35 ②如图，连接， 中，，， ， 在中，，， ∴， 解得：或7； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 当时，如图，过点C作于点E， 在中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点A作于点F， 在中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 20. 定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出的其中一个互倒一次函数___________； （2）如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； （3）如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）见解析； （3）是定值，为，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （）设，求得，，所以，，则，，所以，又，则； （）由得，当时，，所以与轴相交于点，由，解得：，得，则，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：由定义可得，的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：设， ∵轴于点， ∴， ∵点在图像上，点在图像上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：是定值，为，理由： 由得，当时，， ∴与轴相交于点， 由，解得：， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期学业水平调研测试 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AC=3，则tan A=（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为）时，视觉效果最佳．若该平台的长边为，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为（ ） A. B. C. D. 6. 某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如下表： 试验总次数 精准识别次数 精准识别频率 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率约为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形一定是轴对称图形 B. 平行四边形一定是中心对称图形 C 两个相似多边形一定位似 D. 两个位似多边形一定全等 8. 如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．若，，则的值为（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算___________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 11. 已知抛物线过，两点，则______．（填“”，“”或“”） 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为___________． 13. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），连接，以为边在其右侧作等边，交于点．那么的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求的长． 16. 某生命科学实验室进行细胞培养实验．细胞培养液的营养活性浓度（单位：）与培养液的稀释倍数成反比例关系．实验数据显示，当稀释倍数为时，营养活性浓度为． （1）求出与之间的函数表达式； （2）已知培养液的营养活性浓度需满足，为满足细胞培养需求，求培养液稀释倍数的取值范围． 17. 某校课后服务开设了四类社团：文化类、科创类、艺术类、体育类．每名学生必须且只能选择参加其中一类社团．为了解学生的选择情况，学校随机抽取部分学生进行了问卷调查，并把调查结果制成如下统计图（部分信息未给出）．请根据已有信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并在图上标注相应数据； （2）若全校共有2400名学生，试估计选择“科创类”社团的学生人数； （3）请用列表或画树状图的方法，求童童和豆豆两名同学选择同一类社团的概率． 18. 某公司生产一种成本价为元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量（台）与销售单价（元）满足，设销售该无人机每月的利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？ 19. 四边形是研究几何性质的重要载体．结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，完成以下探究：（注：图2、图3为示意图，若计算结果存在多种情形，请保留结果．） （1）在四边形中，已知． ①如图1，以各边向外作正方形，面积分别为，，，；若，那么___________； ②如图2，若，求的值． （2）如图3，在四边形中，若，，，且，求度数． 20. 定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出的其中一个互倒一次函数___________； （2）如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； （3）如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $