19.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，涵盖定义及“对角线相等的平行四边形是矩形”“三个角是直角的四边形是矩形”两个定理。通过温故知新复习矩形性质，结合工人检验矩形门窗的生活问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例激发数学眼光，通过逆命题猜想、严谨证明等问题链发展推理思维，例题与练习覆盖多种情境。学生能在探究中理解判定逻辑，教师可借助清晰环节提升教学效率，培养学生应用意识与理性精神。

19.3 矩形、菱形、正方形 第19章 四边形 沪科版 八年级下册 19.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 温故知新 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 新课引入 知识讲解 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 知识讲解 已知：如图，在▱ABCD中， AC = DB. 求证：▱ABCD 是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = BC，AD ∥ BC， 在△ADC和△BCD中，∵ ∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC =∠BCD. 又∵ ∠ADC +∠BCD = 180°， ∴∠ADC =∠BCD= 90°. ∴ ▱ ABCD是矩形（矩形的定义）. D A B C 证一证 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在▱ ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ ▱ABCD 是矩形. A D C B 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你 现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 知识讲解 例题解读 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形. A B C E D F 1 2 证明：∵ AE // BC， ∴ ∠1 = ∠2. 在 △ADE 和 △CDF 中， ∵ ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴四边形 AECF 是平行四边形. A B C E D F 1 2 ∴EF = AB. 又∵ AC = AB， ∴ EF = AC. 所以四边形 AECF 是矩形. 知识点2 三个角是直角的四边形是矩形 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有两个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 知识讲解 例3 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B = ∠C = 90°， ∴ ∠B + ∠C = 180°，∠A +∠B = 180°. ∴ AB // CD，AD // BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵∠A= 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. D A B C 例题解读 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是 （　C　） A. ∠A＋∠B＝180° B. ∠C＋∠B＝180° C. ∠A＝∠B D. ∠B＝∠D C 随堂练习 2. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6.当BD＝ ⁠ 时，四边形ABCD为矩形. 10　 3. （2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝ 90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形 ABCD是矩形. 证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB. 在△AOD和△BOC中， ​ ∴△AOD≌△BOC（ASA），∴DA＝CB. ∵∠A＝∠B＝90°，∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形. 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， OA＝2.若要使▱ABCD为矩形，则BD的长应该为（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D [变式] 在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是 不是矩形.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的为 （　C　） A. OA＝OB B. AC＝BD C. OA＝OC D. OA＝OD C 5. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝ DF，AC＝EF. 求证：四边形AECF是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝DF， ∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC. ∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形. 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC 的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E. 求证：四边形 ADCE是矩形. 证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是中线， ∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN＝ ∠CAM. ∵∠CAM＝∠B＋∠ACB，∴∠CAN＝∠ACB， ∴AN∥CB，∴∠DAN＋∠ADC＝180°， ∴∠DAN＝∠ADC＝90°. ∵CE⊥AN，∴∠AEC＝∠DAN＝∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形. 7. 在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边 形ABCD是矩形的是（　C　） A. AD＝BC且AC＝BD B. AD＝BC且∠A＝∠B C. AB＝CD且∠A＝∠C D. AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2 C 8. 如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形 EFGH，四边形ABCD添加一个条件后，可使四边形EFGH成 为矩形，则这个条件为 ⁠. AC⊥BD（答案不唯一）　 9. 【一题多问】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点 B出发，沿BC向点C运动（点P不与点B，C重合），过点P 分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF. （1）四边形AEPF的形状为 ⁠. 矩形　 （2）下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是 ⁠ （填序号）. ①先变长后变短； ②先变短后变长； ③一直变短； ④始终保持不变. （3）若AB＝3，AC＝4，则EF的最小值是 ⁠. ②　 　 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC＋2∠OBC＝180°. （1）求证：四边形ABCD是矩形； 证明：∵∠BOC＋2∠OBC＝180°，∠BOC＋∠OBC＋ ∠OCB＝180°， ∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形. （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC. ∵∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形. ∴AB＝OA＝OB＝2，∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4，∴BC＝ ＝2 . ∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形， ∴S△BOC＝S△BEC，∴S△AOB＝S△BOC＝S△BEC， ∴S四边形OBEC＝S△ABC＝ ×2×2 ＝2 . 11. 如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D，E为AB的 中点，F为AD上一点，∠DFC＝2∠BCE. （1）求证：四边形ABCD为矩形； 解：（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形. ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形. 11. 如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D，E为AB的 中点，F为AD上一点，∠DFC＝2∠BCE. （2）若F为AD的中点，求证：CF＝3AF； 解：（2）证明：如图，延长CE，交DA的延长线于 点G. ∵四边形ABCD为矩形，∴AG∥BC，∴∠G＝ ∠BCE. ∵E为AB的中点，∴AE＝BE. 又∵∠AEG＝∠BEC，∴△AEG≌△BEC（AAS）， ∴BC＝AG. ∵∠DFC＝2∠BCE，∠BCE＝∠G，∴∠DFC＝2∠G. ∵∠DFC＝∠G＋∠FCG，∴∠G＝∠FCG，∴FG＝FC. ∵F为AD的中点，四边形ABCD为矩形， ∴AG＝BC＝AD＝2AF，∴FG＝3AF， ∴CF＝3AF. 11. 如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D，E为AB的 中点，F为AD上一点，∠DFC＝2∠BCE. （3）若CE＝4，CF＝5，求AF的长. 解：（3）如图，连接EF. 由（2），知FG＝FC＝5，△AEG≌△BEC， ∴CE＝GE＝4，∴FE⊥CG. ∵CF＝5，CE＝4，∴EF＝3. 设AF＝x，则AG＝5－x. ∵GE＝4，∴AE2＝EF2－AF2＝32－x2，AE2＝EG2 －AG2＝42－（5－x）2， ∴32－x2＝42－（5－x）2，解得x＝ ，∴AF的长为 . $