北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题

北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 复数的模等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列函数中，值域为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，为的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若过坐标原点的圆被直线平分，且被轴截得的弦的长度为4，则圆的方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上．若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的离心率为__________． 12. 在的展开式中，的系数为__________． 13. 设函数．若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为__________． 14. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国人喜爱．下图是一个由正方形彩纸剪成的正八边形窗花，以及其平面示意图ABCDEFGH．已知，那么这个正方形彩纸边长的最小值为__________；设均是以正八边形的一个顶点为起点，另一个顶点为终点的向量，则的最大值为__________． 15. 已知数列是单调递增的无穷数列，是单调递减的无穷数列．有以下四个结论： ①存在数列和，使得； ②存在数列和，使得； ③对于任意无穷等差数列，总存在和使得； ④对于任意无穷等比数列，总存在和使得． 其中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 17. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． （1）根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； （2）在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； （3）为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的上顶点为，动点为轴正半轴上的一点，过点作AB的垂线交椭圆于另一点 （1）当直线AC经过椭圆的左焦点时，求点的坐标； （2）问是否存在点，分别使得等于和？说明理由． 20. 已知函数满足，其中． （1）求的值； （2）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； （3）若存在，使得对于任意，且，都有，求实数的取值范围． 21. 已知项数列的各项均为正整数．若存在，使得满足以下两个条件：①对任意；②对任意奇数．则称数列具有性质． （1）判断下面两个数列是否具有性质；（结论不要求证明） 数列A：1，2，3，1，2，3，2，1； 数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1． （2）已知数列具有性质，且，判断中是否存在5项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由； （3）若数列具有性质，证明：． 北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】(答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【15题答案】 【答案】②③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） 连接，设与相交于点，连接， ∵四边形是平行四边形，∴点为的中点. ∵为的中点，∴为的中位线， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 由正弦定理可得， 因为，所以，，， ，由余弦定理得，得 即； （2） 选择条件②③：均有； 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）（答案不唯一） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 结论：不存在点，使得；存在点，使得和， 证明如下： 假设存在点，使得 ()， 由题意，设直线：， 联立，得， 解得，或， 由题意，得直线：， 令，得， 设，由，得， 则，即， 所以（*） 故关于的一元二次方程（*）的，即， 由（*）的两根之和为、两根之积为正数，知当时（*）存在正根(即 存在点)， 因为， 所以不存在点，使得；存在点，使得和. 【20题答案】 【答案】（1） （2）由（1）知曲线在点处的切线斜率， 设函数， 求导，得，令，得， 当变化时，与的变化如下表： 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值， 当时，，得在上无解， 又因为，且函数在上单调递增， 所以，在上有且仅有一解，即有且仅有一条切线的斜率为， 易得曲线在点处的切线为， 因为， 所以在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； （3） 【21题答案】 【答案】（1）数列 A 不具有性质；数列 B 具有性质. （2）不存在，理由： 先证明：若，则. 假设, 由条件①，得 . 若 p 为偶数，即为奇数，则当时，假设与条件②矛盾． 当p为奇数，同理矛盾， 所以假设错误，即 . 由条件①，知, 若中有五项均为2，即这16项中有5项均为2, 则项数应满足，这是不可能的． 所以数列中不存在5项均为2. （3） 由①知，前9项依次为1,2,…,9；最后9项依次为9,8,7,…,1. 由②知，对任意奇数,为1,2,…,9的一个排列， 所以，且之间至少有7个其他项． 令，由②知：若 i 为奇数，则紧随其后等于k的项为之一；若 i 为偶数，则紧随其后等于 k 的项为之一． 由，得第二个出现的，第三个（假设存在，下同）,第四个； 由 ，得第二个，第三个，第四个，第五个；（*） 由 ，得第二个，第三个，第四个，第五个；（#） 若第二个9为中最后一个9，则最后一个，与（*）不符； 若第三个9为中最后一个9，则最后一个，与（*）不符； 若第四个9为中最后一个9，根据（*），得或或. 若 ，与（#）不符； 若，由，得前一个等于8的项只能是；由，得前一个等于7的项只能是，这显然矛盾； 若，由，得前一个等于8的项只能是；由，得前一个等于7的项只能是，这显然矛盾． 所以数列中至少有5项为9. 故数列至少有项，即 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $