19.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦矩形的定义、性质及直角三角形斜边上的中线推论，通过生活中特殊平行四边形图片提问导入，引导学生观察共同特征，衔接平行四边形旧知，以“观察—定义—性质证明—推论”构建学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于注重数学思维与推理能力培养，通过矩形四个角为直角、对角线相等的严格证明发展推理意识，结合巢湖公路距离等生活情境题及综合证明题培养应用意识。课堂小结系统梳理知识，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

19.3 矩形、菱形、正方形 第19章 四边形 沪科版 八年级下册 19.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质 新课导入 问题1 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 问题2 你还能举出一些生活中的例子吗？ 观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的 平行四边形是什么图形？ ∟ 思考： 知识点1 矩形的定义 知识讲解 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 归纳 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 知识讲解 1.矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗? 矩形具有一般平行四边形的所有性质. 2.矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴. 3.你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等. 思考： 知识点2 矩形的性质 知识讲解 下面给出“矩形的四个角都是直角”的证明. 已知：如图，矩形ABCD. 求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明：由定义知矩形必有一个角是直角，不妨设∠A = 90°. ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴∠A+∠D=180°，∠D+∠C=180°，∠C+∠B=180°. （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B=∠C=∠D =90°. 因此，矩形ABCD的四个角都是直角. A D B C 知识讲解 下面给出“矩形的对角线相等”的证明. 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形. 求证： AC = BD. 证明：在矩形ABCD中， ∵∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC ， BC = CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC = BD， 因此，矩形的对角线相等. A B C D 知识讲解 性质1 矩形的四个角都是直角. 性质2 矩形的对角线相等. 归纳 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 故∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，AC = DB. A B C D O 知识讲解 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等)， ∵BE= DE=BD，AE=CE=AC (矩形对角线相互平分)， ∴BE=AC. C D E A B 知识点3 直角三角形斜边上的中线 知识讲解 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 归纳 A B C O ∵ 在Rt△ABC中， 几何语言描述： = AC 2 1 ∴ OB (或 OB=OA=OC， ) 点O是斜边AC的中点 或 AC=2OB 知识讲解 例题解读 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD，OA=AC ，OB = BD，∠DAB=90°. ∴OA = OB.∵∠AOB=120°， ∴∠OAB=∠OBA==30°. 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，∠AOB=120°，AD=4，求矩形ABCD对角线的长. D A B C O 在Rt△ABD中，∠OBA=30°，AD=4 cm， ∴AC=BD = 2AD = 2 ×4 = 8. ∴矩形ABCD对角线的长为8 cm. 例题解读 课堂小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1. 如图，一个矩形纸片被剪去一部分后，得到一个三角形，则 图中∠1＋∠2的度数是（　C　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° C 随堂练习 2. 两个矩形的位置如图所示.若∠1＝120°，则∠2＝（　C　） A. 30° B. 75° C. 60° D. 45° C 3. 若矩形的对角线长为5 cm，一条边长为3 cm，则此矩形的面 积为 cm2. 12　 4. （2025·阜阳界首期末）如图，E为矩形ABCD的边AD上一 点，BC＝EC，∠ABE＝15°.如果AB＝4 cm，那么BC ＝ cm. 8　 5. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上， 且BE＝CF. 求证：AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE. 6. 【新情境·生活情境】如图，将矩形ABCD放置在刻度尺 上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，则BD 的长为（　C　） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm C 7. （2025·合肥四十五中期末）如图，在矩形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O. 若AE是OB的垂直平分线，且AB＝ 3，则BC的长为（　B　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 B [变式] （2025·合肥寿春中学期末）如图，在矩形ABCD中，对 角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠CDE＝20°， 则∠BOC的度数是 ⁠. 140°　 8. 巢湖是我国五大淡水湖之一，宛如一面宝镜镶嵌在江淮大地 上，有“八百里湖天”之称.如图，公路AC，BC互相垂直， 公路AB的中点M与点C被湖隔开.若AB的长为80 km，则M， C两点间的距离为（　B　） A. 20 km B. 40 km C. 80 km D. 160 km B 9. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交 AD于点M. 若OM＝3，AM＝4，则OB的长为 ⁠. 5　 10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M， N分别为对角线BD，AC的中点，连接MN. 求证：MN⊥AC. 证明：如图，连接AM，CM. ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点， ∴AM＝ BD，CM＝ BD，∴AM＝CM. ∵N为AC的中点， ∴MN⊥AC. 11. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是各边的中点，AH是 边BC上的高.若∠DEF＝65°，则∠DHF的度数为（　C　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° C 12. （2025·亳州期末）如图，在矩形ABCD中，直线MN垂直 平分AC，与CD，AB分别交于点M，N. 若DM＝1，CM＝ 2，则矩形的对角线AC的长为 ⁠. 2 　 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3， BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作 EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为 ⁠. 　 14. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD， DF⊥AE于点F. （1）求证：△ABE≌△DFA； 解：（1）证明∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB. ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°. 在△ABE和△DFA中， ∴△ABE≌△DFA（AAS）. 14. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD， DF⊥AE于点F. （2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长. 解：（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝AE，∠B＝90°， ∴AB2＋BE2＝AE2＝BC2. 设BC＝x，则BE＝x－4， ∴82＋（x－4）2＝x2，解得x＝10， ∴BC＝10. 15. （2025·合肥蜀山区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝ 90°，AC＝8，AB＝6，P为平面内一动点，PC＝2，连接 BP，Q是BP的中点，则线段AQ长度的最小值为 ，最大 值为 ⁠. 4　 6　 【解析】取BC的中点M，连接MA，MQ（图略）. ∵Q是PB的中点， ∴MQ是△PCB的中位线，∴MQ＝ PC＝ ×2＝1. ∵∠CAB＝90°，AC＝8，AB＝6，∴BC＝ ＝10. ∵M是BC的中点，∴AM＝ BC＝5. ∵AM－MQ≤AQ≤AM＋MQ，∴4≤AQ≤6， ∴线段AQ长度的最小值为4，最大值为6.故答案为4，6. $