浙江省杭州第二中学2025-2026学年高二上学期数学周末练16

浙江省杭州第二中学2024级高二数学周末练16 一、单选题 1．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 2．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 3．等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 6．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设为实数，则曲线：可能是（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 10．过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列中，，.记， 则正确的结论是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数，则函数的单调增区间为 ． 13．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 14．如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为 ． 浙江省杭州第二中学2024级高二数学周末练16答题卷 班级__________姓名__________学号__________得分__________ 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多选题 题号 9 10 11 选项 三、填空题 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 四、解答题 15．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 17．如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． (1)证明是定值，并求该值； (2)求平行四边形面积的最大值； (3)一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 19．定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求的取值范围． (2)证明：当时，． (3)已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州第二中学2024级高二数学周末练16 一、单选题 1．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【答案】B 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 2．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 3．等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 4．如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，利用裂项相消法求和即可求解. 【详解】由题意可得， 则， 所以 . 故选：C 5．已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】首先对两边取对数，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对数，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式， 整理得； 又因为 所以正整数的最大值为10. 故选：C. 6．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得，又，进而利用“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】由等差数列前项和公式可得，所以， 所以，又， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：C 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算性质和换底公式得到可判断，构造函数，求导由其单调性得到，进而可判断，即可求解. 【详解】由， 则， 因为， 所以， 构造函数， ，即在单调递减， 当时，， 即当时，， ， 所以， 故选：B 8．如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案. 【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长, 设， ，， ，则， 在△与△中：， 即：， ， 假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为， 则，则， 在△中：，则可得； 假设直线l的斜率为0，此时， 由此结合题意可得，则，. 故选：B. 二、多选题 9．设为实数，则曲线：可能是（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断. 【详解】解：对A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A错误； 对B：当时，曲线C为双曲线，故选项B正确； 对C：当时，曲线C为圆，故选项C正确； 对D：当且时，曲线C为椭圆，故选项D正确； 故选：BCD. 10．过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切线方程，代入，得到方程有唯一解，转化为直线与曲线只有一个交点，利用导数得到的单调区间，分析即可解决 【详解】，设切点为， 则切线方程为：， 因为切线经过点，将点代入得， 化简得， 故方程有一个根． 令，，转化为直线与曲线只有一个交点， ， 当时，；当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减，，． 根据直线与只有一个交点，则有或． 故选：AD． 11．已知数列中，，.记， 则正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据配方判断A；利用作差法可判断B；根据、求出，结合可求出的范围判断CD. 【详解】因为，所以A正确； 由题意得，， 若存在，则，得或（舍），则与矛盾， 故，故，即，故B正确； 因为，所以， 则，故， 所以 ， 因为，所以， 所以， 故， 所以， 因为，，所以，，故， 所以，故，故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 13．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 14．如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】令，以为原点建系，设，利用坐标计算在上的投影向量的模长，再勾股定理计算点到直线的距离，最后结合一元二次函数求最值. 【详解】令，而O是上底面内切圆圆心， 故可以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，则， 又内切圆半径为，则圆，且， 因为正方形的内切圆圆上的动点， 故可设，则， 则在上的投影向量的模长为， 则点到直线的距离为， 又，则面积为， 令，则，对称轴为，且开口朝下， 故当时，，则面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合等差数列和等比数列的通项公式，得方程组即可求解； （2）结合等差数列和等比数列的前项和公式，用分组求和法求出即可. 【详解】（1）由于，故 等比数列的通项公式：，故． 根据题意列方程组：， 得，即． 解得（舍去，因）或，故． 因此等差数列的通项公式为：； 等比数列通项公式为：; （2）根据题意得：， 由（1）得． ， 故． 16．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 17．如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据由线面平行的判定定理得到线面平行，再根据线面平行的性质定理得到线线平行； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而求得夹角的余弦值即可. 【详解】（1）因为，且平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）取的中点，连接. 因为为的中点，所以. 又，所以. 由平面知，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系： 则 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，即. 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，即. 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18．已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． (1)证明是定值，并求该值； (2)求平行四边形面积的最大值； (3)一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 【答案】(1)证明见解析，定值为 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据四边形为平行四边形可构造方程组，利用点坐标表示出，结合两点间距离公式化简可得结果； （2）根据正余弦齐次式可求得，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； （3）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和中点坐标公式可表示出线段中点坐标，由此可求得斜率和中点所在直线方程，化简得到结果. 【详解】（1）设，，，又， 四边形是平行四边形，则，， ， 在椭圆上，，， 是定值，且该定值为. （2）设直线的倾斜角为，则， ，， 或，，， 由（1）知：在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号）， ，则当时，取得最大值， 平行四边形面积的最大值为. （3）设，，联立得：， 则，， ，中点为， 任取不同于的弦，同理可得：中点为， 直线的斜率， 直线的方程为：，即， 任意弦的中点均在直线上，即每条弦均被定直线平分． 19．定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求的取值范围． (2)①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． (3)已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【详解】（1）由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． （2）因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． （3）令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $