11.2 一次函数的图象及性质 第一课时 课件 2025--2026学年 青岛版 八年级数学 下册

青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 第11章 一次函数 11.2一次函数的图象及性质 第一课时 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1、理解正比例函数的图象特点，会画正比例函数的图象； 2、掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题； 3、体会“数形结合”的数形思想方法. 教学目标 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 思考 1. 画函数图象的一般步骤是什么? (1) 列表；(2) 描点；(3) 连线． 2. 在列表时，是先取x的值还是先取y的值?另一个变量的值是如何确定的?连线时要注意什么? 先取x的值，再根据函数表达式求出y的值. 连线时要注意按照顺序用平滑的线连接. 课程导入 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例1 在同一平面直角坐标系内画出正比例函数y=2x图象和y=-3x的图象。基本步骤如下： 列表： -4 -2 0 2 4 新知探究 6 3 0 -3 -6 x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y=2x ··· ··· y=-3x ··· ··· 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. (-2，-4)，(-1，-2)，(0，0)，(1，2)，(2，4) 新知探究 (-2，6)，(-1，3)，(0，0)，(1，-3)，(2，-6) 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 连线：把两个正比例函数上的点依次连接起来，得到图象. (-2，-4)，(-1，-2)，(0，0)，(1，2)，(2，4) 新知探究 (-2，6)，(-1，3)，(0，0)，(1，-3)，(2，-6) y=2x y=-3x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 问题：正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地，正比例函数y=kx的图象有何特点? 新知探究 两者都是过原点的一条直线. 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线. y=2x y=-3x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 函数图象与函数表达式之间的对应关系： (1) 函数图象上任意点的坐标(x，y)均满足该图象对应的函数表达式，即函数图象是由满足该函数表达式的所有点组成的图形； (2) 满足函数表达式的任意一对x，y的值所对应的点(x，y)一定在该函数图象上. 新知探究 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可. 两点 作图法 怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？ 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：（1）列表； （2）描点； （3）连线。 画正比例函数 y=2x 的图象。 y=2x 新知探究 x … -2 -1 0 1 2 … y 0 2 4 -4 -2 ··· ··· 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 其他满足 y=2x 的点（x，y）也在右边画出的直线上吗？ 数形结合 新知探究 y =2x （0.5 ，1） （1.5 ，3） 由函数表达式到图象，你体会到了什么样的数学思想？ 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （1）画出正比例函数 y＝ -3x 的图象。 解：①列表； ②描点； ③连线。 y= -3x （2）在所画的图象上任意取几个点， 找出它们的横坐标和纵坐标，它 们满足关系式吗？ 满足 新知探究 x … -2 -1 0 1 2 … y 0 -3 -6 6 3 ··· ··· 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （3）满足关系式 y= -3x的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数y= -3x 的图象上吗？ （4）正比例函数 y= -3x 的图象上的点（x，y）都满足关系式 y= -3x 吗？ 新知探究 在 满足 y= -3x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） ① y =2x 经过一、三象限， ② y = -3x 经过二、四象限。 ①函数图象都经过原点（0,0）， ②函数图象都是一条直线。 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 不同点 相同点 新知探究 观察比较，两个函数的图象 有什么相同点，有什么不同点？ y=2x y= -3x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y= -4x y=x y=3x 两点作图法 新知探究 （1）在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象。 y=﹣ x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （2）随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？ 思考：相应图象上的 点的变化趋势如何？ 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3. k值与图象所在象限有何关系？ 新知探究 当k＞0时，经过第一、三象限。 当k＜0时，经过第二、四象限。 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 当k＞0时，从左向右呈_______趋势， y的值随着x值的增大而________； 在正比例函数 y＝kx 中， 当k＜0时，从左向右呈_______趋势， y的值随着x值的增大而________。 上升 增大 下降 减小 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） (1) 正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增大了，其中哪一个增大得更快？ k >0， 当 k 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值上升得越快。 新知探究 y=2x y=x y=3x 取同一个x值时，对应的y值变化。 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） k ＜0， 当 | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值下降得越快。 新知探究 y=﹣ x y=-3x y=-4x (2) 类似地，正比例函数 y＝ - x 和 y＝ -4x 中，随着 x 值的增大， y 的值都减小了，其中哪一个减 小得更快？你是如何判断的？ 取同一个x值时，对应的y值变化。 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快。 | k | 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 在正比例函数y=kx（k≠0）中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 知识归纳 正比例函数图象的位置和函数的增减性，只与 k 的正负有关. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 当k＞0时, x增大时,y的值也增大； 当k＜0时, x增大时,y的值反而减小. 2 4 y = 2x 1 2 2 4 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 -3 -6 想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化? 新知探究 x y 0 3 2 y = x x y 0 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. 1.已知正比例函数y=(k+1)x. k＞-1 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1. 跟踪练习 （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____. 解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1. =1 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1）,（5，y2），则y1 y2. < 分析：因为k<0，所以y的值随着x值的增大而减小，又-3<1，则y1＞y2. 3.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1）,（1，y2），则 y1 y2. > 跟踪练习 分析：因为k＞0，所以y的值随着x值的增大而增大，又3<5，则y1＜y2. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 作出正比例函数y=2x，y=－2x，y=4x和y=－4x的图象.观察这些图象，它们有什么共同的特点？ 新知探究 画正比例函数图象有无简便的办法？ y y2x y－2x y－4x y4x 正比例函数y=kx(k为常 ● 由此可见： 数，且k≠0)的图象是一条 经过原点的直线. 2. 通常我们把正比例函数 的图象叫作直线 y=kx. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 已知函数 y = 3x 的图象经过点A(－1 ,y1 ) ,B( －2,y2),则y1_______ y2. (填“>” “<” 或“=”) ＞ 变式训练 方法总结 已知函数的关系式及其图象上的点的横坐标，比较点的纵坐标的值的方法有三种: (1)代入法.它准确,但需要计算. (2)图象法.它直观形象,但需要画图. (3)函数性质法.它是三种方法里面最简便的一种. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） k＞0 k＜0 过原点，从左向右是上升的直线（↗） 过原点，从左向右是下降的直线（↘） 第一、三象限 第二、四象限 y 的值随 x 值的增大而增大 y 的值随 x 值的增大而减小 |k|越大，直线越陡，上升的越快 |k|越大，直线越陡，下降的越快 新知探究 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0）的图象和性质 k的正负 函数图象 图象的形状 经过的象限 增减性 变化的快慢 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 误 区 诊 断 在直角坐标系中两条直线y=6和y=kx相较于点A，直线y=6与y轴交于点B，若△AOB的面积为12，求k的值. 误区 二 运用正比例函数图象求k值时漏解 6 6 错解： 由题意知A( ，6)，B(0，6)，AB⊥y轴， ∴S△AOB= ×6 × =12，解得k= . * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 6 6 6 6 正解： 根据题意画图，如下，当k＞0时，A( ，6)，此时S △AOB= × ×6=12，解得k= .当k＜0时，A’( ，6)，此时S△AOB= ×（- ）×6=12，解得k=- .因此k=± . * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） B 1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ ） 2.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 （ ） 　　A．k＜2　　　　B．k≤2 C．k＞2　　　　D．k≥2 C 当堂练习 D C B A 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m 时，函数图象经过第一、三象限； （2）当m 时，y 随x 的增大而减小； （3）当m 时，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 <-2 =0.5 当堂练习 4.如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①y =ax；②y=bx；③y =cx. 请用“＞”表示a，b，c的大小关系___________. b＞a＞c 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 5. 如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.　 （1）k1 k2，k3 k4(填“>”或“<”或“=”)； （2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来． ＜ 解： k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4 ＜ 当堂练习 4 2 -2 -4 4 x y O y =k4 x -4 -2 2 y =k3 x y =k2 x y =k1 x 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 6. 已知 y 是 x 的正比例函数，且函数图象经过点 A(-3，6). (1) 求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = -6 时，求对应的函数值 y； (3) 当 y = 2 时，求 x 的值. 解：(1) 设正比例函数的解析式为 y = kx(k ≠ 0). 因为图象经过点 A(-3，6)，所以 -3k = 6，解得 k = -2. 所以 y 关于 x 的函数解析式是 y = -2x. (2) 把 x = -6 代入 y = -2x，可得 y = 12. (3) 把 y = 2 代入 y = -2x，可得 x = -1. 当堂练习 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 7.已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, ∴4=m·m，解得m=±2. 又∵y的值随着x值的增大而减小， ∴m<0，故m=－2 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 8. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L.所使用的汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少. 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y/元 x/km 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O （1）y=5×15x/100， 即 . （2） 列表 （3）当x=220时， 答：该汽车行驶220 km所需油费是165元． 描点 连线 （元）. 解： 当堂练习 x 0 4 y 0 3 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1、当x＞0时，y与x的函数解析式为y=2x ，当x≤0时，y与x的函数解析为y=-2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为( ) C 技能提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2、已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图象经过第几象限？ m+1=2>0 该函数是正比例函数 ∴根据正比例函数的性质，k>0可得该图象经过一、三象限. 解： 技能提升 m2=1 { 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3、已知点A(1，-2)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象. (1) 求k的值； (2) 画出这个函数的图象； 解：(1) ∵ A(1，-2)在正比例函数y=kx上， ∴ k×1=-2，即k=-2. (2) 作图如右. y =-2x 技能提升 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3、已知点A(1，-2)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象. (3) 若-2≤x≤3，求y的取值范围. (3) 由题意， ∵ y=-2x，k=-2<0， ∴ y随x的增大而减小. 又∵ 当x=-2时，y=4； 当x=3时，y=-6. ∴ 当-2≤x≤3时，-6 ≤ y≤4. y =-2x 技能提升 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 4、已知函数 y=3x 的图象经过点 A(-1，y1)、点 B（-2，y2），比较 y1 和 y2 之间的大小关系.（用多种方法解答） 解： 方法一 把点 A、点 B 的坐标分别代入函数 y=3x，将求出的值比较大小即可. 当 x = -1 时， y1 = -3；当 x = -2 时， y2 = -6；所以 y1>y2. 技能提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 方法二： 画出正比例函数 y=3x 的图象，在函数图象上标出点 A、点 B，利用数形结合思想来比较大小. 如图，观察图形，显然可以得出结论：y1 > y2. A B 技能提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 方法三： 根据正比例函数的性质来比较函数值的大小. 当k>0时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升， y 随着 x 的增大而增大. 从 -2 到 -1自变量 x 增大，所以函数值 y 也在增大，可以得出结论：y1 > y2. 技能提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 正 比 例 函 数 图象 形状：是一条经过原点（0,0）的直线 画法：两点作图法（一般步骤为列表、描点、连线） 性质 性质1 当k>0时，经过第一、三象限； 当k<0时，经过第二、四象限。 性质2 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小。 性质3 |k|越大，直线越陡，越靠近y轴。 新知探究 $