精品解析：山东省聊城第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（一）

2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此， 所以. 故选：A 2. 若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，结合，即可求得离心率. 【详解】由题意知，所以，所以. 故选：D. 3. 记为公差不为0的等差数列的前项和，则下面说法不正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】对于A， ， ， ，，成等差数列，故A正确； 对于B，，， ，，， ， 即，，成等差数列，故B正确； 对于C，， 成立，故C正确； 对于D，， 不成立，故D错误. 故选：D． 4. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 5. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 7. 记椭圆的左，右焦点分别为，，下顶点为，直线与相交于另一点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题中的向量关系转化为长度关系，再结合余弦定理可得椭圆基本量间的关系式，从而可得离心率的值. 【详解】设椭圆的半焦距为，， 由，得， 由椭圆的定义得，. 如图，由余弦定理得， 即， 化简得，即， 即，故，即得（负值舍去）. 故选：D. 8. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理，整理可得，再应用基本不等式求最值即可. 【详解】由抛物线的定义知，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A. 二、多选题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用等差数列下标和的性质、等差数列的前项和公式以及的符号，依次判断即可. 【详解】对于A：，.又， ，故等差数列是递减数列，故A正确； 对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，， 因此有，故，即，故B正确； 对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用直线恒过的定点在圆内即可判断；B选项圆心到的距离公式即可求解；C选项利用直线与圆相交的弦长公式即可求解；D选项利用当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离即可求解. 【详解】直线可变形为， 令，则，解得，， 则直线恒过定点； 又圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线的距离为. 对于A选项，，点在圆内， 对，与相交，故A正确； 对于B选项，令，两边平方化简得，， ，此方程无解， 不存在实数，使得圆心到的距离为，故B错误； 对于C选项，直线与圆相交弦长， 则，解得，，两边平方解得， 当圆截所得的弦长为时，的值为，故C正确； 对于D选项，当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离， 即，两边平方解得，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（，需验证的情况），等差数列的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分析即可. 【详解】选项A：因为，， 令，则， 因为，所以， 又因为，故，选项A正确； 选项B：因为， 则两边同时除以，得：， 即，且， 因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确； 选项C：由的通项可得：，即， 当时，， 当时，，通项成立， 则， 所以：， 所以是等差数列，选项C正确； 选项D：由，则不等式为：， （，，两边除以）得：， 则当时：，，，不成立， 当时：，，，成立， 所以的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 13. 设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差数列的前n项和公式得到，再转化为，进一步利用基本不等式求解. 【详解】因为为有穷正项等差数列的前n项和，， 所以均为正数，且，解得. 由等差数列的性质知. 所以， 当且仅当，即，亦即时等号成立， 故答案为： 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又点到直线的距离的倍，分析求解即可. 【详解】 如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通项公式； （2）由（1）可得等差数列的前项和，然后即可得到，从而求出该数列的前项和，然后代入条件中的不等式，解二次不等式即可求得的范围，根据题意即可得到其最小值. 【小问1详解】 由于， 故解得 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）取 的中点 ，连接与 交于 点， 在底面矩形 中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面 ， ，则平面 ， 且，所以， 因为，平面 可得 平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得 平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中 ， 则， 因为直线 与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 17. 已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点. （1）求准线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线的方程为且， 联立方程组，整理的， 可得，且， 则. 又直线的方程为，令，得点的纵坐标， 又由过点作的垂线，垂足为，所以点的纵坐标， 所以 （定值）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线经过点，代入求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，得到，进而求得和，化简得到，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线关于轴对称， 可得必过中的两点， 代入可得，解得， 所以抛物线的方程为，准线的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求证：是等差数列，并求； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，求数列的前n项和. 【答案】（1） 在数列中，①， 又因为②，， 所以得． 又因为， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式； （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围； （3）裂项得，再求和得到即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知，所以． 所以， 所以 . 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可； （2）设直线AB的方程为，利用弦长公式求出、关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明． 【小问1详解】 如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直， 则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． 【小问2详解】 设直线AB的方程为，由,得，，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 8 D. 9 2. 若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 记为公差不为0的等差数列的前项和，则下面说法不正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. D. 4. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 记椭圆的左，右焦点分别为，，下顶点为，直线与相交于另一点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最大值 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 11. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 13. 设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为_________． 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17. 已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点. （1）求准线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值. 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. （1）求证：是等差数列，并求； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，求数列的前n项和. 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $