甘肃省陇南市2026届高三上学期1月检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若复数z满足z=1十3i(i是虚数单位)，则之的虚部是 A.-3i B.-3 C.3i D.3 2.设全集U={x|x是小于7的自然数}，A={2,3,6},则集合CA= A.{1,4) B.{0,4,5) C.{0,1,4,5} D.{1,4,5} 3.不等式x2十x一12<0的解集为 A(-3,4) B.(-4,3) C.(-∞，-4)U(3,+∞) D.(-∞，-3)U(4,+∞) 4(+)》° 的展开式中常数项是 A.20 B.15 C.6 D.1 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十as十2a2=12,则So= A.20 B.25 C.30 D.35 6.已知双曲线E:芳-苦=1（®>0,6>0）的一条渐近线方程为)=2厄z,则E的离心率为 A32 B.√2 4 C.22 D.3 【高三1月检测·数学第1页（共4页）】 LN 7.设<a<号x,且sin(2a+)=cosa,则a= A B c n.要 8.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形， 则四面体ABCD的体积的最大值为 AN B.23 C 吗 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c都是实数，下列命题是真命题的是 A.若a>0,b=2,则a°+b=4 B.若a=号，b=27,则1oga十log6=2 C若（合）°>（号），则>b D.若a>b>0,c<0,则后>号 a 10.已知曲线C:ax2十by2=1,其中a,b是实数，且a,b至少有1个大于0，则 A.曲线C关于x轴对称 B.当ab>0时，曲线C表示椭圆 C.当ab<0时，曲线C表示双曲线 D.当ab=0时，曲线C表示两条平行直线 11.已知函数f(x)的定义域D=(一∞，0)U(0,十∞)，对任意的1，x2∈D,恒有f(x1x2)=xf(x1)十 xf(x2),则下列结论正确的是 A.f(-1)=0 B.f(x)是奇函数 C.若m>n>0,则n3f(m)>m3f(n) D.若f(2)=1,则f(2")=n·23m-3,n∈N 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a∈R,向量m=(6,a),n=(a-1,5),若m⊥n,则a的值为 13.在△ABC中，AB=3,AC=2,其面积为4cosA,则BC= 14.设函数f(x)=ae一x+1,若f(x)>3,则实数a的取值范围是 【高三1月检测·数学第2页（共4页）】 LN 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin(2x+p)(lp<)f(0)=1. (1)求p; (2)设函数g(x)=f(x)一2cos2x,求g(x)的单调区间. 16.(本小题满分15分) 在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1,∠B1A1C1=90°，E,F分别为C1C,BC的 中点。 (1)求证：AC∥平面AB1F; (2)求平面AB1F与平面AEF夹角的大小. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=十-blnx,其中a,bER (1)当b=1时，求∫(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)当a=1时，若函数f(x)在区间(0,1)上存在极值，求b的取值范围. 【高三1月检测·数学第3页（共4页）】 LN 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，圆2+（十号）‘=子与C的准线相切。 (1)求C的标准方程； (2)已知A是C上的一点，T是y轴上的一点，若|AT的最小值为4，求点T的坐标； (3)过点F作直线l与C交于P,Q两点，且C在P,Q两点处的切线交于点M,证明：|FP|·|FQ= |FM12. 19.(本小题满分17分) 某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如 下数据： 排球 性别 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都 等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记n次传球后球在乙手中的概率为p.,n=1,2,3,…. (i)求pn; (i)若随机变量X,服从两点分布，且P(X=1)=1-P(X:=0)=g,i=1,2,,n,则E(2X,) 一2g,记前n次（即从第1次到第n次传球）中球在乙手中的次数为随机变量Y,求Y的数 学期望 n(ad-bc)2 附：X=(a+b)(c+da+c)b+①其中n=a+b+c+d 0.010 0.005 0.001 Ta 6.635 7.879 10.828 【高三1月检测·数学第4页（共4页）】 LN高三数学参考答案、提示及评分细则 1.Dz的虚部是3.故选D 2.C依题意，得U={0,1,2,3,4,5,6},而A={2,3,6},所以CA={0,1,4,5}.故选C. 3.B由x2+x-12<0,得(x+4)(x-3)<0,解得-4<x<3,所以不等式x2+x-12<0的解集为（一4,3）.故选B. 4A(+子)”的展开式巾常数项是G=20.故选A 5.C等差数列中a4十a6十2a,=2a4十2a,=12,所以a4十a=6,所以S。=10X6=30.故选C. 2 &D因为双线E票-苦-1a>0,b>0)的一条南近线方程为y=2x,所以2-2B,离心率e=合-√层 √1+=3.放选D 7.B由诱导公式有sin(2a+平)=sin(受a),故2a+平=（受-a)+2k1x(k∈ZD或2a+平=x-（受-a)+2kx (德∈刀，解得a=吾+2（∈ZD或。=子+2：xk∈Z.由于<a<受，放只能是a=叠+取=2的情形。 即。竖放选B 8.A设球心为O,因为球O的表面积为16π，所以球的半径R=2.因为△ABC的外接圆半径为√3，所以O到平面ABC的 距离d=V区-3了-1，所以D到平面ABC的距离的最大值为3，所以四面体ABCD的体积的最大值为：子×厚×3 ×(1+2)=9故选A 9.BD当a>0,b=2时，a°十P=1十4>4，A错误；当a=号，b=27时，10ga十1ogb=-1+3=2,B正确；当a=b=1时， (公)>（兮）广成立，所以C错误：当>6>0时，<右，又c0,所以合>云，D正确，故选BD 10.ACD显然(x,一y)适合C的方程，A正确：当ab>0,取a=b=1,C表示圆，B错误；当ab<0时，a>0,b<0,C是焦点 在x轴上的双曲线；a<0,b>0,C是焦点在y轴上的双曲线，C正确；当ab=0时，a>0,b=0,C是与y轴平行的两条直 线；a=0,b>0,C是与x轴平行的两条直线，D正确.故选ACD. 1.ABDf1x)=f)+f(0)中取西==1得f1)=0,取④==-1，得(-1)=-7f1)=0,放 A正确；取=一1,2=x得f(-x)=一f(x),故B正确；由题意构造函数f(x)=x3log.1x,取m=1.1,n=0.1, 满足m>>0,此时f(m)<0<f(),所以fCm<fC0,即nf(m)<mf(m,故C错误；取=2,2=2，得 m 2)=f2)+2f(2)=212)+2,所以）-兴-1，又兴=1.所以号=2)= 23n n·2n-3,故D正确.故选ABD. 12.号由mLn:得m·n=0,即6a一6十5a=0,解得a=品 6 【高三1月检测·数学参考答案第1页（共4页）】 LN 13.145 5 因为Sac=b:c·sinA=3simA=4csA,所以1anA=专，所以cosA=号，由余弦定理得到BC=AC +AB-2·AC·AB·cosA,解得BC=4⑤ 5 14.(e,十o∞)f'(x)=ae-1,当a≤0时，f(x)<0,f(x)在R上单调递减，没有极值，当a>0时，由f(x)=0得x= -lna,由f(x)>0得x>-lna,由f(x)<0得x<-lna,所以f(x)在（一o∞，-lna)上单调递减，在(-lna,十o∞） 上单调递增，所以f(x)≥f(-lna)=2+na,由2+lna>3得a>e. 15.解：(1)由f(0)=2sin9=1得sim9=2,“ …2分 因为g<受，所以p=吾 …4分 (2)由(1)知fx)=2sin(2x+否) 所以g()=f(x)-2cos2x=/3sin2x+cos2x-2cos2x=2sin(2x-否）， …7分 由2kx受≤2x-否<2kx+受，k∈Z,得x一吾<<km+号，k∈Z, …9分 由2kx+受<2x-吾<2x+经，k∈Z,得x十吾<<x+晋，k∈乙， …11分 所以g()的单调递增区间为[kx一吾，kx十子]，k∈：单调递减区间为[kx十受，kx十]，k∈乙 …13分 16.(1)证明：设A1B∩AB=G,连接FG,在直三棱柱ABC-A1B1C中，四边形ABBA1是平行四边形，所以G为A1B的 中点，… …2分 又F为BC的中点，所以FG∥A1C,…4分 又FGC平面ABF,AC吐平面ABF,所以AC∥平面ABF.… …6分 (2)解：因为三棱柱ABC-A1B1C是直三棱柱， 所以AA⊥底面ABC,AA1⊥AB,AA1⊥AC, 又∠B1A1C=90°，所以AB⊥AC,…7分 B 以A为原点，直线AB,AC,AA1分别为x轴，y轴，x轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，不妨设AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),AB,=(2,0,2), A市=(1,1,0)，A正=(0,2,1)， 设平面AB1F的法向量m=(x,y,2), m·AB1=2x+2=0, 则 取x=-1,得y=x=1, m.A正=x+y=0, 所以平面AB1F的一个法向量m=(-1,1,1). 10分 m·AE=2b叶c=0, 设平面AEF的法向量n=(a,b,c),则 取a=1,得b=-1,c=2, m·AF=a+b=0, 所以平面AEF的一个法向量n=(1,一1,2).… 13分 因为m·n=-1×1+1×(-1)+1×2=0,所以m⊥n, 【高三1月检测·数学参考答案第2页（共4页）】 LN 即平面AB1F与平面AEF的夹角是90°. 15分 17.解：(1)当b=1时，f()=土-1n,定义域为0，十o) 1分 所以fx)=4,D=l+a,f1)=-a …4分 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(1十a)=一a(x一1)， 即a.x+y-2a-1=0. 6分 (2)当a=1时，f()=2十1-bn,定义域为(0，十0)， …7分 所以f(x)=2-b,1, …8分 因为f(x)在区间(0,1)上存在极值， 所以子(x)在(0,1)上必存在变号零点， 令g(x)=x一bx-1,则g(x)在(0,1)上必存在变号零点， …9分 因为g(0)=-1<0, 所以g(1)>0,… 10分 解得b0。…1们分 当b<0时，g(1)>0,且g(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)<0,故存在0∈(0,1)，使得g(x)=0,…12分 所以当x∈(0，x)时，g(x)<0,即f(x)<0,当x∈(xo,1)时，g(x)>0,即f(x)>0, 所以f(x)在(0，xn)上单调递减，在(xo,1)上单调递增，… 14分 故x。为f(x)的极小值点，符合题意，故b的取值范围为（一∞，0）.… 15分 18.(1)解：由题意，设C的方程为x2=2y(p>0),准线为x=一 …1分 因为圆x+(+)》=与C的准线相切，且圆心为(0，-），半径为7， …2分 所以-分一子=一多解得力=2，… …3分 所以C的标准方程为x2=4火… …4分 (2)解：设A(.x0,h),T(0,1),AT到=√x6+(h-t)严=√话+(4-2t)%十平，y%≥0，…6分 当t-2≤0，即t2时，ATmm=F=4,解得t=-4或t=4(舍去)：… …7分 当t-2>0,即1>2时，ATmm=√P-(t-2)=4,解得t=5,… …9分 所以点T的坐标为(0，一4)或(0,5).… 10分 (3)证明：根据题意，直线l的斜率存在，F(0,1), 设直线l的方程为y=kx十1，P(x1,y),Q(2,y2), （x2=4y, 联立 消去y并整理得x2一4k.x一4=0， …11分 (y=kx+1, 所以△=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=一4， …12分 【高三1月检测·数学参考答案第3页（共4页）】 LN 对y=求导，得y=, yy=2(x-) 「x=2k, 由 解得 所以M(2k,-1). 14分 y=-1, y-=之2(x-x2), 因为|FP12=x+(y-1)2=4y+(y-1)2=(y1+1)2, |FQ2=x%+(2-1)2=4物十（次-1）2=（y十1)2，…15分 所以FP3.PQ=（6+1(+1=为+n++1D=[g2+计+1]=(4+4)，…16分 又|FM2=4k2十4，所以|FP|·|FQ=|FM川2.………17分 19.解：(1)零假设为H%:是否喜欢排球与性别无关联.… …1分 根据表中的数据，经计算得到t=78+12)义0708发22十8=器≈1.589>10.828 400×(78×88-122×112)2 =江0001，… …4分 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.…5分 (2)()由题意知力1三号，p+1=号1一a)十0·p=号p,十)，…8分 设p1十X=一言(R+),所以p1=-宁A一多，所以-号=合解得X=宁， 又一号=合，故数列n.一}是以行为首项，一号为公比的等比数列，…9分 所以号-吉×(-合)， 10分 所以，=弓+日×(-子)，即第”次传球后球在乙手中的概率为号+日×(-). 11分 (1因为b=号+若×(-）=1,2…，m 所以当n∈N时，Y的数学期塑EY)=A+A+…十A=专十言×(-)十号+吉×(-合)+…+号十 -+”-(门-× 1-(-) 即Y的数学期望为3-。X(-号)…17分 【高三1月检测·数学参考答案第4页（共4页）】 LN