精品解析：北京市顺义区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年级练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，29道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 5的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 若三角形的两条边长分别为，，则第三条边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若是二次根式，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 5. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 找到一个整数，它的平方是2 B. 实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上 C. 10名同学的出生月份都不相同 D. 三角形的三条中线交于一点 6. 某陶瓷博物馆中收藏了许多陶瓷珍品，下列藏品中，从正面看得到的平面图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在解方程的过程中，去分母后正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 当分式值为0时，则的值为______． 10. 若，写出一个符合条件的的值______． 11. 为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确是______（填所有正确的序号）． ；；． 12. 如图，于点A，于点B，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） 14. 如图，在中，，平分．若，，则的面积为______． 15. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 16. “调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 三、解答题（共68分，第17-20题每题4分，第21-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26题5分，第27题6分，第28-29题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：. 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 如图，，，．求证：． 23. 已知，求代数式的值． 24. 下面是晓东设计“作三角形的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：边上的高线． 作法：如图， ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D； ③连接，与的延长线交于点E． 所以线段为所求作的高线． 根据晓东设计尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 在和中， ， （______）（填推理的依据）． （______）（填推理的依据）． 又， ∴（______）（填推理的依据）． 即线段为中边上的高线． 25. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 26. 如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小． 27. 为促进绿色消费，国家实施了家电以旧换新政策．政策中明确个人消费者购买符合规定的电冰箱、洗衣机、电视机、空调等类家电产品可享受补贴． 某地区补贴标准如下： 购买二级能效产品，补贴产品销售原价的； 购买一级能效产品，补贴产品销售原价的； 另外，根据情况还可享受旧机回收款抵扣消费． 例如：某款一级能效空调一台销售原价为元，按销售原价的补贴元．另外，旧机回收款抵扣元，则个人实际消费元． 小明家购买了不同品牌的，两款一级能效空调．已知款比款空调每台的销售原价高元，两款空调每台享受补贴后均参加旧机回收款抵扣消费，款空调每台抵扣元，款空调每台抵扣元，购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元．求，两款空调的销售原价． 28. 如图，是角平分线，延长到点E，使，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）在的下方作，，如图2所示．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 29. 已知数轴上的点A，B表示的数分别为，2，直线l垂直数轴于点M，设点M表示的数为m．以线段为一边作等腰直角．对于和直线l给出如下定义：若关于直线l对称的图形上的点到原点O的距离的最大值为p，则称p为关于直线l的“反射原距”． （1）如图，，，依题意画直线l和关于直线l的对称图形，并直接写出关于直线l的“反射原距”p的值； （2）若，关于直线l的“反射原距”为5，直接写出m的值； （3）若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，29道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 5的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：∵平方根的定义是：如果，则是的平方根， ∴ 5 的平方根是． 故选：D． 2. 若三角形的两条边长分别为，，则第三条边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系计算第三边的取值范围，再判断选项是否符合即可． 【详解】解：设第三边长为 ， 三角形的两条边长分别为，， ，即， 只有B选项在此范围内． 故选：B． 3. 若是二次根式，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义时被开方数非负是解题的关键． 根据二次根式被开方数非负，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 5. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 找到一个整数，它的平方是2 B. 实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上 C. 10名同学的出生月份都不相同 D. 三角形的三条中线交于一点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，是解题的关键． 根据相关定义逐项判断，即可解题． 【详解】解： A： 不存在整数平方为2，为不可能事件，不符合题意； B： 铁块密度大于水，必然下沉，为不可能事件，不符合题意； C： 10名同学的出生月份可能相同也可能不同，为随机事件，符合题意； D： 三角形中线交于一点是必然性质，为必然事件，不符合题意； 故选：C． 6. 某陶瓷博物馆中收藏了许多陶瓷珍品，下列藏品中，从正面看得到的平面图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 7. 在解方程的过程中，去分母后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过找到分母的最简公分母，乘以方程两边，消除分母，得到正确等式即可． 【详解】解：∵方程 的分母为和， ∴最简公分母为， 去分母得：， 故选：A ． 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答，判断即可． 【详解】解：对于①：∵， ∴； 对于②：∵是的外角， ∴； 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 当分式的值为0时，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0，需满足分子且分母， 解方程，代入分母得，符合条件． 故答案为：． 10. 若，写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据∵得到，取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术方根的性质是解题的关键． 11. 为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确的是______（填所有正确的序号）． ；；． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则．通过检查每种变形是否等价于原式 来判断正确性． 【详解】解：对于：右边，而原式，相等，故正确； 对于：右边，而原式，故错误； 对于：右边，等于原式，故正确； 故答案为：． 12. 如图，于点A，于点B，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键在于根据已知条件和全等三角形的判定方法来确定所需添加的条件．根据在和中，，，结合全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴在和中，， 且两个三角形有公共边，即， 添加条件， 此时满足“”判定定理， 即可以证明； 添加条件， 此时满足“”判定定理， 即可以证明； 添加条件， 此时满足“”判定定理， 即可以证明； 添加条件， 此时满足“”判定定理， 即可以证明． 故答案为： (答案不唯一)． 13. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．首先利用列举法，可得抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求得各概率，再比较判断，即可解题． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：正正，正反，反正，反反，共4种等可能情况． 事件①（全是正面）包含1种情况，概率为； 事件②（一正一反）包含2种情况，概率为； 事件③（全是反面）包含1种情况，概率为． ， 事件②的概率最大． 故答案为：②． 14. 如图，在中，，平分．若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，过点作于点，根据角平分线性质，得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】连接，根据等腰直角三角形性质，推出，，，进而证明，结合全等三角形性质即可判断①，利用全等三角形性质，结合勾股定理即可判断②，设，根据等腰直角三角形性质，勾股定理，以及垂线段最短，推出与的面积关系，即可解题． 【详解】解：连接， ，， ， D是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故①结论正确； ， ， ， ， ， ， 故②结论错误； 设， 则的面积为， ， ， 当时，最小， 此时，且的面积为， 当与重合时，最大， 此时，且的面积为， 不与点A，C重合， 的面积取不到， 即若，的面积分别为，， 则， 故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 16. “调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中A处应填______，B处应填______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键 根据调日法规则，新分数由不足近似分数和过剩近似分数的分子之和与分母之和的比得到，再比较新分数与的大小以确定更新方向． 【详解】解：第4次调试时，不足近似分数为，过剩近似分数为，新分数A的计算为，其小数形式为3.625． ∵，且，即新分数大于， ∴新分数为过剩近似分数．更新后，不足近似分数保持不变，过剩近似分数更新为， ∴更新范围B为． 故答案为：，． 三、解答题（共68分，第17-20题每题4分，第21-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26题5分，第27题6分，第28-29题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，再利用同分母分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式，掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键．先对分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分后再计算同分母分式的减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．利用乘法分配律和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．利用分配律展开表达式，化简根式后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 22. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形性质和判定，根据平行线性质推出，再利用“”证明，进而即可证明． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ． 23. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 24. 下面是晓东设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：边上的高线． 作法：如图， ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D； ③连接，与的延长线交于点E． 所以线段为所求作的高线． 根据晓东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 在和中， ， （______）（填推理的依据）． （______）（填推理的依据）． 又， ∴（______）（填推理的依据）． 即线段为中边上的高线． 【答案】（1）尺规作图见详解； （2）三边对应相等的两个三角形全等(或) 全等三角形的对应角相等 等腰三角形的性质——“三线合一” 【解析】 【分析】本题考查了基本尺规作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握尺规作图的技巧、等腰三角形的性质——“三线合一”是解题的关键． （1）根据题目中的作图步骤补全图形即可； （2）由作法得，，可证，进而得出，又由，可证是等腰三角形，运用等腰三角形的性质——“三线合一”，可得，即线段为中边上的高． 【小问1详解】 解：补全图形如图1所示； 【小问2详解】 解：如图2，连接，， 故答案为：三边对应相等的两个三角形全等(或) 全等三角形的对应角相等 等腰三角形的性质——“三线合一” 25. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】（1） （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【小问1详解】 解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； 【小问2详解】 解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 26. 如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据等边三角形性质推出，进而得到，再利用“”证明即可． （2）根据全等三角形性质推出，再结合三角形外角性质求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：，均等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ． 27. 为促进绿色消费，国家实施了家电以旧换新政策．政策中明确个人消费者购买符合规定的电冰箱、洗衣机、电视机、空调等类家电产品可享受补贴． 某地区补贴标准如下： 购买二级能效产品，补贴产品销售原价的； 购买一级能效产品，补贴产品销售原价的； 另外，根据情况还可享受旧机回收款抵扣消费． 例如：某款一级能效空调一台销售原价为元，按销售原价的补贴元．另外，旧机回收款抵扣元，则个人实际消费元． 小明家购买了不同品牌的，两款一级能效空调．已知款比款空调每台的销售原价高元，两款空调每台享受补贴后均参加旧机回收款抵扣消费，款空调每台抵扣元，款空调每台抵扣元，购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元．求，两款空调的销售原价． 【答案】 款空调的销售原价元，款空调的销售原价元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立相应等量关系是解题的关键，分式方程注意检验．设款空调的销售原价为元，则款空调的销售原价为元，根据“购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元”列方程求解即可． 【详解】解：设款空调的销售原价为元，则款空调的销售原价为元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：款空调的销售原价元，款空调的销售原价元． 28. 如图，是的角平分线，延长到点E，使，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）在的下方作，，如图2所示．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干条件，容易证明，则，结合角平分线的性质，可证明； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，通过平行线的性质和角平分线的性质可证明，．结合题干条件，容易证明，从而推出． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：结论：， 证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 29. 已知数轴上的点A，B表示的数分别为，2，直线l垂直数轴于点M，设点M表示的数为m．以线段为一边作等腰直角．对于和直线l给出如下定义：若关于直线l对称的图形上的点到原点O的距离的最大值为p，则称p为关于直线l的“反射原距”． （1）如图，，，依题意画直线l和关于直线l的对称图形，并直接写出关于直线l的“反射原距”p的值； （2）若，关于直线l的“反射原距”为5，直接写出m的值； （3）若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）按照题意作图，并根据图判断p的值即可； （2）根据离点最远的点分三类讨论，结合作图和勾股定理计算m的值即可； （3）根据，，分三类讨论．由轴对称的性质，用含的代数式表出点、、对称后的点、、所对应的数，进而表示出、、，根据三者的大小关系，并结合的取值范围，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，和直线即为所求， 由图可知，点离原点最远， ∴； 【小问2详解】 解：设点、、对称后的点为点、、， 由图可知，离原点最远的点必定在三个顶点之中， ①当点的对称点离点最远时，根据题意，，即点表示的数是， 当点表示的数是时，点在右侧，即，与题意矛盾，故舍去； 当点表示的数是时，如图， ∵点是的中点， ∴由中点公式可知，； ②当点对称点离点最远时，同理①可知，点表示的数是， 当点表示的数是时， ，与题意矛盾，故舍去； 当点表示的数是时，如图， 此时，，与题设矛盾，故舍去； ③当点对称点离点最远时，则， 当点在原点左侧时，有，不符题意，故舍去； 当点在原点右侧时，如图， 由对称轴的性质可知，，， 在直角中，， ∴点表示的数为， ∵点是的中点， ∴由中点公式可知，； 综上所述，． 【小问3详解】 解：①当时，如图，作，垂足为， ∵是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴点表示的数为， 根据轴对称的性质可知， 点关于直线的对称点表示的数为，点关于直线的对称点表示的数为，点关于直线的对称点表示的数为， ∴，，， 由勾股定理可得，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，； 当时， ， 两边平方，得， 解得，； 当时， ， 两边平方，得， 解得，； ∴当时，最大；当时，最大， 当时，， ∵， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 当，，此时，不符题意，故舍去； ②当时，如图， 同理①可得，，， 由勾股定理可得，， 由直角三角形的三边关系可知，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，， 当时，最大，即， 由①可知，此时； 当时，最大，即， ∵， ∴， 两边平方，得， 配方，得， 开方，得， ∵， ∴， 解得，； 当，，不符题意，故舍去； ③当时，如图， 同理②可得，，， 由勾股定理可得，， 由直角三角形的三边关系可知，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，， 当时，最远，即， 由①可得，此时； 当时，， ∵ ∴， 两边平方，得， 配方，得， 开方，得， ∵， ∴， 解得，； 当时，，不符题意，故舍去； 综上所述，若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，则的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，数轴的应用，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，轴对称作图与轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识并灵活运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $