精品解析： 北京市顺义区2024-2025学年八年级上学期期末数学测试试卷

顺义区2024−2025学年度第一学期期末八年级教学质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（  ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，明白“一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，0的算术平方根是0”是解题的关键． 【详解】解：实数9的算术平方根， 故选：C． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项进行判断即可，熟练掌握轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、 是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（） A. 哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D. 三角形的两边之和小于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，则A不符合题意； 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，则B符合题意； 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球是必然事件，则C不符合题意； 三角形的两边之和小于第三边是不可能事件，则D不符合题意． 故选：B． 4. 在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（） A. 4 B. 6 C. 9 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍可得，即该分式的值不变， 故选：A． 6. 已知公式，其中，，均不为零，且．若用含有，的式子表示，则为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可． 【详解】解：， 方程两边同乘， 故选：D． 7. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 8. 如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：． 10. 如果，那么，这个命题的逆命题是___________ ． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 11. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，，，请你添加一个适当的条件：___________，使得． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由,得到,根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , 不一定全等于； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13. 春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 14. 如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为________；a________3（填或）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用、数轴上点的坐标的表示及实数的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴．根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴正半轴表示的数，再与3比较大小． 【详解】解：在中 以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为， ， ， ． 故答案为：；． 15. 对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为_________；若，则的值为_________． 【答案】 ①. 3 ②. 2或8 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，新定义运算，解题的关键是理解题意，弄清新定义运算法则．根据新定义运算，列出算式计算即可． 【详解】解：， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解； 综上，的值为8或2； 故答案为：3；2或8． 16. 如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 取、中点、，连接，，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可判断结论①；根据是的中点，得到，进而可推出，据此即可判断结论②；根据，可求出四边形的面积，于是可判断结论③；根据，即可求得点到点距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案． 【详解】解：取、中点、，连接，， ，为的中位线， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ，故结论①正确； 四边形为正方形， ， 是的中点，， ， ，故结论②正确； ， ，故结论③错误； ，， 当点移动到，移动到点时，达到最小值， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17~20题，每题5分，第21题6分，第22~24题，每题5分，第25题6分，第26~28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则； 根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可求解； 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，零次幂，根据二次根式的化简与零次幂进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法．其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，． 所以原方程的解是． 21. 已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，推导出，由，得，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：， 在和中， 22. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算括号内的分式减法，然后计算分式的除法，由此即可得． 【详解】解：由得：， 则 ． 23. 在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 【答案】选择规则一，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：选择规则一． 卡片上的数字中不大于5数字有1，2，3，4，5，共5个，所以选择规则一闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中偶数数字有2，4，6，8，共4个，所以选择规则二闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中是3的倍数的数字有3，6，9，共3个，所以选择规则三闯关成功的可能性为． 因为， 所以选择规则一闯关成功的可能性最大． 24. 为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 【答案】A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用. 设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，再利用购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的倍，列方程，解方程即可. 【详解】解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义， 所以， 答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元． 25. 数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． （1）小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； （2）受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 【答案】（1）正确 （2），全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明三角形为等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）延长到点T，使得，连接，证明，可得，，再由角平分线可得，从而得出，最后可得结论． 【小问1详解】 解：在中，是的平分线，， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 所以小华的作法正确， 故答案为：正确； 【小问2详解】 证明：如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 故答案为：，全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 26. 在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）依题意补全图形，并证明； （2）如果，，求，的长． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】（）依题意补全图形，由，，得，，再通过同角的余角相等得出， 然后根据“”即可求证； （）由勾股定理得出，再通过等面积法，求出，然后根据勾股定理求出，最后由全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如图， 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了按语句画图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 27. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】（1）①； ② （2），理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由， ， 又∵， ∴． ∴， 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 28. 如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． （1）求证：； （2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用“截长补短法”证明线段的和差关系是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由，可证得，于是可得，，进而可得，即是等边三角形，于是可得，再根据即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即：， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义区2024−2025学年度第一学期期末八年级教学质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（  ） A. B. C. 3 D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于随机事件的是（） A. 哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D. 三角形的两边之和小于第三边 4. 在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（） A. 4 B. 6 C. 9 D. 14 5. 如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大为原来的4倍 6. 已知公式，其中，，均不为零，且．若用含有，的式子表示，则为（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式的值为0，则x的值为__________． 10. 如果，那么，这个命题的逆命题是___________ ． 11. 计算：=___． 12. 如图，，，请你添加一个适当的条件：___________，使得． 13. 春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是__________． 14. 如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为________；a________3（填或）． 15. 对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为_________；若，则的值为_________． 16. 如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______________． 三、解答题（共68分，第17~20题，每题5分，第21题6分，第22~24题，每题5分，第25题6分，第26~28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 22. 已知，求的值． 23. 在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 24. 为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 25. 数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． （1）小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； （2）受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 26. 在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）依题意补全图形，并证明； （2）如果，，求，的长． 27. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 28. 如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． （1）求证：； （2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $