精品解析：河南省平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025 -2026学年上学期期末联考试卷 八年级数学 （满分：120 分 时间：120 分钟） 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2、3、4 B. 、、 C. 5、12、13 D. 30、50、60 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无限不循环小数，是无理数，正确； D．是整数，不符合题意； 故选：C． 3. 若式子 在实数范围内有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，据此进行求解即可. 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ； 故x 的值可以是3. 故选A. 4. 判断命题“如果那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的x满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，成立，而不成立，故是该命题的一个反例， 所以判断命题“如果， 那么”是假命题，举出． 故选：D． 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4−∠1＝50°−30°＝20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10 名学生的参赛成绩，下列说法不正确的是（ ） A. 下四分位数是87.5 分 B. 上四分位数是95 分 C. 众数是90分 D. 中位数是90 分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、中位数、众数、四分位数等．根据众数、中位数、四分位数的定义逐一进行求解即可作出判断． 【详解】解：将这10名学生的参赛成绩按从小到大的顺序排列为85，85，90，90，90，90，90，95，95，100， 所以这组数据的下四分位数为88.75分， 上四分位数为95分， 众数为90分， 中位数为90分， 故A选项不正确， 故选：A． 7. 若方程组的解中，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】先将两个方程相加即可得到，再根据即可得到关于的方程，解方程即可得解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解满足一定条件求参数问题，加减消元法和代入消元法是求值的常用方法． 8. 关于函数下列结论正确的是（ ） A. 函数图象一定经过点 B. 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 C. y的值随x 的值的增大而增大 D. 函数图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象经过的象限，一次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数值，一次函数的增减性问题，求出时的函数值即可判断A；根据直线与坐标轴的交点坐标即可判断B；根据一次函数解析式即可判断C、D． 【详解】解：A、当时，，则函数图象不经过点，原结论错误，不符合题意； B、当时，，当时，，解得， ∴函数图象与坐标轴的两个交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，原结论正确，符合题意； C、∵一次项系数为， ∴y的值随x 的值的增大而减小，原结论错误，不符合题意； D、∵一次函数解析式为， ∴函数图象经过第一、二、四象限，原结论错误，不符合题意； 故选：B． 9. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜文”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得： ； 故选C． 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键． 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得：，，，， 则，， 矩形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. －64的立方根是_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数， 可知-64的立方根为-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数． 12. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质计算即可得到答案． 【详解】解：是外角的平分线，， ， ， 故答案为： ． 13. 已知平面直角坐标系中有，两点，且轴，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴可得，点M，N的纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】∵轴， ∴点M，N的纵坐标相同， ∴，解得：， 把代入， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中与坐标轴平行的线段的点坐标的特点，熟记与x轴平行的点，纵坐标相同是解题的关键． 14. 如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m． 【答案】1 【解析】 【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B， 则A′B为最短距离． 由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m， ∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m， ∴A′B＝ ＝ ＝1（m）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等内容．由题意知是等腰直角三角形，所以，再结合图形很容易发现当点在轴上，会有最大值，此时也最大，利用一线三垂直全等求解即可． 【详解】解：由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∴当有最大值时，则亦有最大值， 如图，当点在轴上，会有最大值， 过作轴于点，过作轴于点， ∵直线，分别交轴于，两点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共75 分） 16. （1）计算： （2）解方程组 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减以及二元一次方程组： （1）先化简二次根式和去绝对值符号，再合并同类二次根式即可作答． （2）运用加减消元法，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为． 17. 为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． （1）请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； （2）小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】（1）旗杆的高度为12米 （2）测量长度有误差（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； 【小问2详解】 解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 18. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，且. 按要求完成下列问题： （1）在坐标系中，描出点的位置，并连接则与关于 对称；(填“x轴”或“y轴”) （2）画出关于y 轴对称的； （3）设点P是x 轴上一动点，直接写出的最小值. 【答案】（1）x轴，作图见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）观察对应点之间的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可作答． （2）根据关于y 轴对称的对应点之间的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可作答． （3）先描出点关于轴的对称点，再连接，交轴于一点，即为点P，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵与 ∴与的对应点之间的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴则与关于x轴对称， 故答案为：x轴 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 作点A关于x轴对称点，连接交x轴于点P， 点 在中，， 则， 的最小值为 . 【点睛】本题考查了图形与坐标、画对称轴图形，两点之间线段最短，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19. 补充证明过程，并在括号内填写证明步骤所用到的定理． 如图，为上的点，为上的点，，，求证：． 证明：∵（已知），（ ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质．根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）. 20. 八年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表．（得分为整数，满分为分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀） 平均数 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 a 7 c 二班 b 8 d 根据图表信息，回答问题： （1）直接写出表中的值． （2）小明同学说：“这次测试我得了7分，在我们班级中排名属中游略偏下！”观察上表，可知小明是___________班的学生．（填“一”或“二”） （3）根据表格中的数据你认为哪个班的阅读水平更高，为什么？ 【答案】（1）的值分别为，8，6，． （2）二 （3）一班的阅读水平更高．理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率； （2）根据一班的中位数是8，可知小明不在一班，就可以确定为二班； （3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响情况考虑分析即可． 【小问1详解】 解：通过观察图中数据可得： ， 一班成绩为6分的人数最多，所以众数为； 二班共有：人， ∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列， ∴中位数为、的平均数， ∴； 二班合格的人数有：人，总人数为人， ∴， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 因为一班成绩的中位数是7分，小明同学说：“这次测试我得了7分，在我们班级中排名属中游略偏下！”， 所以小明不可能在一班， 所以他在二班； 故答案为：二； 【小问3详解】 一班的阅读水平更高． 理由：由表格，可知一班的平均分、合格率和优秀率均高于二班，方差小，成绩波动小，所以一班的阅读水平更高．(答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是解题关键． 21. 某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学课间使用，买了3个篮球和5个排球，共花费570元，并且每个排球比篮球便宜30元． （1）求篮球和排球的单价各是多少元； （2）商店里搞活动，有两种套餐：①优惠打折：每个篮球和排球均打八折；②满减活动；消费满999减100，消费满1999减200．两种活动不重复参与．八年级（1）班打算买15个篮球、13个排球，请问按照哪种套餐购买更划算？ 【答案】（1）篮球的单价是90元，排球的单价是60元 （2）按照套餐①购买更划算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的应用． （1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可； （2）根据题意中的等量关系列出等式分别求出两个套餐需要付款的总数，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，排球的单价为y元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：篮球的单价是90元，排球的单价为60元； 【小问2详解】 解：按照套餐①打折， 买15个篮球和13个排球需付款：（元）， 按照套餐②打折， 15个篮球需付款：（元）， 13个排球需付款：（元）， 共需付款：（元）， ∵， ∴按照套餐①购买更划算． 答：按照套餐①购买更划算． 22. 小明在学习一次函数后，对形如（其中，，为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． … … … … 【深入探究】（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是________； 【得到性质】（3）函数（其中、、为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是________； 【实践运用】（4）已知一次函数（为常数，且）的图象一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，则的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）列表，描点、连线画出直线即可； （2）观察图象即可得到结论； （3）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）列表： … … … … 描点、连线，画出直线如图： ， （2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （3）函数（其中为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （4）∵一次函数（为常数，且）的图象一定过点， ∴， ∵与y轴相交于点A， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或， 故答案为：或． 23. 如图，直线分别与x轴、y轴交于两点，点D为x轴上点A左边一动点．以点D为直角顶点、的长为一腰在第三象限内作等腰直角三角形． （1）求k，b的值； （2）当点D的坐标发生变化时，点 C的坐标也随之变化，那么在点D运动过程中，点C是否始终在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式；如果不在，请说明理由； （3）在直线 上有一点，点R在x轴上，若是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 R的坐标． 【答案】（1）， （2）在点 D 运动过程中，点 C 始终在直线上，见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）把代入，解二元一次方程组即可得出答案； （2）过点作轴于点，设，则，证明，得出，求出，得出不同的点都在直线上； （3）直线的解析式为，求出，设点R的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：不同的点的坐标在同一直线上； 过点作轴于点，如图所示： 设，则， 为等腰直角三角形，且以点为直角顶点，的长为一腰， ， ， 轴于点， ， ， 又， ， ， ， ， 设则， ，不同的点都在直线上； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 设直线的解析式为， 将代入得： ， ， ， 直线的解析式为， 在直线上， ， 设点R的坐标为， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时； 当时，， 即， ∴， 解得：或（舍去）， 此时； 当时，， 即， 解得：， 此时； 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 -2026学年上学期期末联考试卷 八年级数学 （满分：120 分 时间：120 分钟） 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2、3、4 B. 、、 C. 5、12、13 D. 30、50、60 2. 下列各数中为无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子 在实数范围内有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 4. 判断命题“如果那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 6. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10 名学生的参赛成绩，下列说法不正确的是（ ） A. 下四分位数87.5 分 B. 上四分位数是95 分 C. 众数是90分 D. 中位数是90 分 7. 若方程组解中，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 16 D. 17 8. 关于函数下列结论正确的是（ ） A. 函数图象一定经过点 B. 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 C. y的值随x 的值的增大而增大 D. 函数图象经过第一、二、三象限 9. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. －64的立方根是_______． 12. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 13. 已知平面直角坐标系中有，两点，且轴，则点的坐标为__________． 14. 如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为_______． 三、解答题（共75 分） 16. （1）计算： （2）解方程组 17. 为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． （1）请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； （2）小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 18. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，且. 按要求完成下列问题： （1）在坐标系中，描出点的位置，并连接则与关于 对称；(填“x轴”或“y轴”) （2）画出关于y 轴对称的； （3）设点P是x 轴上一动点，直接写出的最小值. 19. 补充证明过程，并在括号内填写证明步骤所用到的定理． 如图，为上的点，为上的点，，，求证：． 证明：∵（已知），（ ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 20. 八年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表．（得分为整数，满分为分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀） 平均数 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 a 7 c 二班 b 8 d 根据图表信息，回答问题： （1）直接写出表中的值． （2）小明同学说：“这次测试我得了7分，在我们班级中排名属中游略偏下！”观察上表，可知小明是___________班的学生．（填“一”或“二”） （3）根据表格中的数据你认为哪个班的阅读水平更高，为什么？ 21. 某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学课间使用，买了3个篮球和5个排球，共花费570元，并且每个排球比篮球便宜30元． （1）求篮球和排球的单价各是多少元； （2）商店里搞活动，有两种套餐：①优惠打折：每个篮球和排球均打八折；②满减活动；消费满999减100，消费满1999减200．两种活动不重复参与．八年级（1）班打算买15个篮球、13个排球，请问按照哪种套餐购买更划算？ 22. 小明在学习一次函数后，对形如（其中，，为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，小明分别画出了函数，，图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． … … … … 【深入探究】（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是________； 【得到性质】（3）函数（其中、、为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是________； 【实践运用】（4）已知一次函数（为常数，且）的图象一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，则的值为________． 23. 如图，直线分别与x轴、y轴交于两点，点D为x轴上点A左边一动点．以点D为直角顶点、的长为一腰在第三象限内作等腰直角三角形． （1）求k，b的值； （2）当点D的坐标发生变化时，点 C的坐标也随之变化，那么在点D运动过程中，点C是否始终在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式；如果不在，请说明理由； （3）在直线 上有一点，点R在x轴上，若是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $