精品解析：天津市天津中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

天津中学2025-2026学年高一第一学期二月考诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.） 10. 若cos α＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________． 11. 已知函数，则的值为________． 12. 函数的值域是________． 13. 若角的终边经过点，则________． 14. 函数的定义域是________． 15. ，分别是关于的方程和的根，则_____. 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 设，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 18. 已知，. （1）解关于x的不等式； （2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值. 19. 按要求求值. （1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值. （2）设，且，求的值. 20. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）求函数f（x）的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津中学2025-2026学年高一第一学期二月考诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域求解即可. 【详解】. . 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 2. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，由，可得，函数的定义域为，解不等式，解得或，则函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不是同一函数； 对于C选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则不相同， C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则相同，D选项中的两个函数是同一函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个函数是否为同一函数，判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础． 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可. 【详解】由得，，即，得， 所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集， 所以，由各选项可知 “”满足题意， 所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”. 故选：D． 5. 圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出． 【详解】 所以扇形的面积为： 故选：C 【点睛】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 设，则，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可. 【详解】，所以有， 因为，所以有， 故选：A 7. 设函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析两个函数解析式在对应区间上的单调性，借助最小值即可求解. 【详解】当时，，且当时，取得最小值；当时，，即有在上单调递减，则，由题意可得，解得， 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值. 【详解】由题设，在上递减，由偶函数知：， ∴，即， ∴，则，得. 故的最小值是. 故选：C 9. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】是奇函数，单调递增，所以，得， 所以，所以，故选D． 点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.） 10. 若cos α＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据cos α的值先求sin α，对cos(α＋)用诱导公式化简求值. 【详解】由题意得sin α＝－＝－，所以cos(α＋)＝－sin α＝． 故答案为： 【点睛】对于三角函数求值题，一般是先化简，再求值． 11. 已知函数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】， 故， 故答案为： 12. 函数的值域是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性即可求解. 【详解】设，在区间上单调递增， 所以，的值域为. 故答案为： 13. 若角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可求值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以 . 故答案为：. 14. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式有意义的条件和对数有意义的条件可得，解不等式可得函数的定义域. 【详解】函数， 则，即， 也就是，解得或， 即定义域为. 故答案为： 15. ，分别是关于的方程和的根，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为，再根据反函数的性质求出与的交点坐标，即可得解. 【详解】解：依题意可得，， 即函数与的交点横坐标为， 函数与的交点横坐标为， 又函数与互为反函数，其函数图象关于对称， 又与互相垂直，且由，解得，即两直线的交点坐标为， 所以； 故答案为： 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 设，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据，即可解得，解不等式组得定义域； （2），根据单调性求出最值. 【详解】（1）∵，∴，∴. 由得， ∴函数的定义域为. （2）. ∴当时， 是增函数；当时， 是减函数， 故函数在区间上单调递增，其最小值是. 【点睛】此题考查根据函数值求参数和定义域，求给定区间上复合函数的值域问题. 18. 已知，. （1）解关于x的不等式； （2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）0 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式即可. （2）整理方程，利用韦达定理及基本不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 当时，解得或；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 依题意，方程，， ，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为0. 19. 按要求求值. （1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值. （2）设，且，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式化简计算可得； （2）先进行对数运算,将化为，然后利用同角三角函数商的性质得到，即可求出的值. 【小问1详解】 角的终边与单位圆交于点知：， 根据诱导公式化简得. 【小问2详解】 ， ， 即：，化简得：， ，所以， 化简得，解得或. 所以为或 20. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）求函数f（x）的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数及的解析式，求出时的解析式，并且，故求出f（x）在R上的解析式；（2）根据第一问结论，对题干条件进行变形，再根据单调性进行不等式求解，换元后，用对勾函数求解最值，最终求得a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以，，所以，故，故函数f（x）的解析式为 【小问2详解】 ，，则， 根据f（x）是定义在R上的奇函数，所以， 故，且当时，单调递减，故在R上单调递减， 所以，令，则在上恒成立，其中在上单调递减，故当时取得最大值，故，故，故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $