精品解析：四川省泸州市2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试题

高2024级高二年级上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式写出焦点坐标及准线方程，即可得到答案. 【详解】由解析式可知，即， 焦点到准线的距离为. 故选：B. 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复数的运算，先把分母实数化，整理成的形式，求出虚部b即可。 【详解】因为，所以虚部为, 故选：D 3. 双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求出. 【详解】由题意双曲线：的，， 又是上一点，，在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得，，解得. 故选：D. 4. 设，是一个随机试验中的两个事件，且与相互独立，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由并事件概率公式及独立事件的交事件概率公式求得结果. 【详解】， 故选：C 5. 三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为点 是 的中点，所以， 又因为点 是 的中点，所以， 因此：. 故选：A 6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，， 则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为. 故选：B. 7. 圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，计算即可求得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的高与圆柱的高之比为. 故选：C. 8. 是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的点的特征，求点关于对称点为，得，从而，当且仅当三点共线时取等号，从而解出的最小值. 【详解】 圆：的圆心，半径 设点关于对称点为， 则，解得，即 故 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为4. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离参数法求得直线恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系建立方程，解得，判断BC选项，整理直线方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D选项. 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 10. 如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成的最小角为 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标，即可得到向量坐标，设，得到向量坐标，由数量积求得取何值时，即可判断A选项；由线线平行得到线面平行，即可判断B选项；由空间直角坐标系得到向量坐标，由数量积求得到线线角的范围，判断C选项；由空间直角坐标系得到向量坐标，通过向量的投影即可求得到直线距离，即可判断D选项. 【详解】对于A，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，则，设， ，，∴，， ∴， 则，当时，， 则，即当为的中点时，满足题意；A选项正确； 对于B,∵，∴平面，平面， ∴平面，即点到平面的距离不变， ∴不变，B选项正确； 对于C，，∴， 则，， 设直线与所成角为， 则， 令，函数对称轴为， ∴，， ∴∴，∵， ∴直线与所成的最小角不为，C选项错误； 对于D，，，， 则， 则在上的投影长为 ∴到直线距离 ∵，∴当时，取最小值，D选项正确. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，过作的垂线交直线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线方程得到焦点坐标及准线方程.由抛物线的定义即可判断A选项；讨论直线斜率不存在，求得坐标，即判断B选项；讨论直线斜率不存在，结合对称性由坐标求得，再讨论直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组并设交点坐标，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系，结合抛物线定义求得，由余弦定理证明，判断C选项；讨论直线斜率不存在时，由坐标求得，再讨论直线斜率存在时，得到直线方程后得到点坐标，然后表示出，即可判断D选项. 【详解】如图所示，由题意得，准线方程为， 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 故点不与原点重合，由抛物线定义可知，A选项正确； 当直线斜率不存在时，，则，，， 此时，，，B选项错误； 当直线斜率不存在时，，则，， ，∴，∴ 当直线斜率存在时，设，联立方程组得， 整理得，设，， 则， 由抛物线定义可知， ， ， 即，∴， ∴，C选项正确； ， 当直线斜率不存在时，，则，，， ， 当直线斜率存在时，，， 直线，则， ∴， ∴， ， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由椭圆中的关系即可求得答案. 【详解】∵焦点坐标是，∴， ∵，∴， . 故答案为：1. 13. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______. 【答案】20 【解析】 【分析】由中位数及平均数定义求得这四个数的中位数和平均数，然后建立方程求得，即可求得答案. 【详解】中位数为，平均数为， 由题意得，则， ∴， 故答案为：20. 14. 斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系并标点，设，根据数量积和模长可得，求平面的法向量和点在平面的投影为，可得，，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由题意可知：， 则，解得， 即，则，， 可得， 注意到，则，可知为矩形， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设点在平面的投影为， 则，，， 因为，则，解得， 即，则， 可得，， 又因为，， 则，且， 可得点到直线，，，的距离分别为，均大于1， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由切点和切线得到切点与圆心的直线方程，联立直线方程求得圆心坐标，由圆心和切点求得圆半径，从而写出圆的标准方程； （2）求圆心到直线的距离，由垂径定理建立方程，解得实数的值. 【小问1详解】 令切点为， 由题意可知过点且垂直于直线， ∴， 联立直线方程，解得，则半径， ∴圆. 【小问2详解】 由（1）可知圆心， 则圆心到直线的距离， 又∵， ∴，即， ∴或. 16. 为了深入开展安全教育，普及安全文明知识，某中学随机抽取1000名学生进行安全文明知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和上四分位数（结果保留整数）； （2）现从，两组中采用按比例分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求2人来自不同两组的概率. 【答案】（1）平均数为分，上四分位数约为分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出平均数及上四分位数. （2）根据分层抽样可得中抽取的人数为，中抽取的人数为，然后把所有情况都列举出来，用古典概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 在频率分布直方图中，结合频率分布直方图， 设这1000名学生成绩的上四分位数为t， 在的频率为0.3，的频率为0.4，的频率为0.15，则上四分位数落在内， 则，解得，即上四分位数约为73分， 这1000名学生成绩的平均数为分. 【小问2详解】 按比例分配的分层随机抽样方法．中抽取的人数为，中抽取的人数为． 记来自的3人和来自的2人分别为， 则所有基本事件为，， ，，，，，，，，共10个，满足题意2人来自不同两组的有6个， 由古典概型知，2人来自不同两组的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，为的中点，是棱上的点. （1）证明：； （2）若，，，且与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，从而得到线线垂直； （2）证明空间内三条直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，得到点坐标，设，通过平面的法向量及的数量积与线面角的关系求得，得到向量，分别求得平面与平面的法向量，由数量积求得平面与平面所成的二面角的余弦值. 【小问1详解】 ∵，即， ∵平面平面，且平面平面， 平面，且， ∴平面，∵平面，∴. 【小问2详解】 ∵且为的中点， ∴，又∵，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 由（1）可知平面，且平面，所以 ∵，为的中点，∴， ∴如图以点为顶点建立空间直角坐标系， ∴，，，，， 则，设，， 则， 平面的一个法向量为， 则，即， 即，∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 则，令，则，即， 则，令，则，即， 设平面与平面所成的二面角为， 则. 18. 已知双曲线：的离心率为，焦点到的渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）若垂直于轴的直线与的右支相交于，两点，已知点，直线和的左支交于点. （ⅰ）若，是坐标原点，求直线的方程； （ⅱ）求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义、性质结合点到直线的距离公式计算即可； （2）设直线方程及点坐标，与双曲线方程联立利用韦达定理得出坐标关系，（ⅰ）根据三角形面积公式结合韦达定理计算即可；（ⅱ）利用直线的两点式方程及点差法证明即可. 【小问1详解】 易知的渐近线方程为，设双曲线的一个焦点为，则， 由双曲线对称性，不妨取的一条渐近线， 则到该渐近线的距离， 又C的离心率为，即，所以； 【小问2详解】 不妨设A在第一象限，由题意可设， ， 联立得， 则，整理得， （ⅰ）易知， 即， 解之得（舍去）或，所以，即. （ⅱ）直线， 整理得， 又在双曲线上，且在直线上， 即，则， 作差得， 化简得， 则， 即， 显然时，，即直线过定点. 19. 已知椭圆：，其右顶点为. （1）已知是上的动点，求到直线距离的最大值； （2）过点的直线与相交于，两点（均不与点重合）. （ⅰ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由； （ⅱ）求的外接圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1） （2）（i）点  在以  为直径的圆外（ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角换元设出点坐标，再根据点到直线的距离公式计算求最值即可； （2）（i）把问题转化为判断的正负，再根据设而不求的方法计算即可；（ii）设圆的方程，直线分别与圆和椭圆联立后的方程系数成比例，列方程，可得答案. 【小问1详解】 椭圆 的参数方程为 ，点 到直线 的距离为 令 ，则 当 时， 取得最大值 ； 【小问2详解】 （i）点 在以 为直径的圆外. 理由：设直线 （，否则与 重合），代入椭圆方程得 设 ， 则 计算 ，利用 得： 代入得， ， 将韦达定理结果代入，计算得 当 时，直线为 ，过点 ，与题设“均不与 点重合”矛盾，故不考虑； 当直线 斜率不存在时，方程为 ，代入椭圆解得 则 此时 综上，均有 故 为锐角，点 在以 为直径的圆外； （ii）设 的外接圆圆心为 ，圆方程为 ， 代入 得 ，将 代入圆方程，得： 整理得： 将 代入椭圆中，由（i）得： 方程 (1) 和 (2) 表示两个交点 的横坐标满足的方程，故系数成比例， 则：， 解得： 设圆心， 则 消去 得轨迹方程 但 时，，中有一个点与点重合，不符合题意，故除去点 ， 因此， 的轨迹方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二年级上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 设，是一个随机试验中的两个事件，且与相互独立，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 5. 三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 8. 是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 10. 如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 存在点，使得 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成的最小角为 D. 点到直线距离的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，过作的垂线交直线于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______. 13. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______. 14. 斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求实数的值. 16. 为了深入开展安全教育，普及安全文明知识，某中学随机抽取1000名学生进行安全文明知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和上四分位数（结果保留整数）； （2）现从，两组中采用按比例分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求2人来自不同两组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，为的中点，是棱上的点. （1）证明：； （2）若，，，且与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线：的离心率为，焦点到的渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）若垂直于轴的直线与的右支相交于，两点，已知点，直线和的左支交于点. （ⅰ）若，是坐标原点，求直线的方程； （ⅱ）求证：直线过定点. 19. 已知椭圆：，其右顶点为. （1）已知是上的动点，求到直线距离的最大值； （2）过点的直线与相交于，两点（均不与点重合）. （ⅰ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由； （ⅱ）求的外接圆圆心的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $