精品解析：湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高一上学期第3次月考数学试卷

湖北省武汉市第六中学2025级高一年级第3次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题教师：周红文 刘秀明 审题教师：陈玉娟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，进而即可得出答案. 【详解】由已知可得，扇形的半径，圆心角的弧度数， 所以，扇形的弧长为， 扇形的周长为. 故选：D. 2. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 5. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象的一条对称轴为，求出或，因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得， 解得，又因为，所以或， 因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 6. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 7. 设 ，，，则（ ） A. b <c<a B. a<c<b C. a<b<c D. c<b<a 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算化简，并利用换底公式，结合对数函数的单调性比较大小即可求解. 【详解】因为，，都是正数， 所以，，， 因为，，，且， 所以，即， 所以， 故选：C 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 10. 已知函数，其中，且，则（　　） A. B. C. D. 函数有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而求得，可判定A正确；画出函数的图象，结合图象，得到的范围，可判定B不正确；根据图象，得到，当时，令，求得，可判定C正确；求得，分和，两种情况分析，方程根的个数，得到零点个数，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 所以，所以A正确； 对于B，根据二次函数与指数函数的图象与性质，画出函数的图象，如图所示， 要使得，可得，即，所以B不正确； 对于C，当时，，可得的对称轴为，所以， 由，令，可得，解得， 所以，即， 所以，所以C正确； 对于D，由函数， 因为，可得， 当时，方程，结合图象知，方程只有1个实数根； 当时，方程，即， 可得，此时方程有2个实数根据， 所以函数共有3个零点，所以D错误. 故选：AC. 11. 设函数（是常数）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意在区间上具有单调性，且， . ，所以关于点对称， ，所以关于直线对称. 所以，，所以. . . 所以的最小正周期为，A选项正确. ， 所以的单调递减区间为，B选项正确. ， 所以的对称轴为，C选项错误. 向左平移个单位得到，D选项错误. 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】， 设，则，故， . 故答案为：. 13. 设，则________（结果用含的式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 故答案为： 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 四、解答题（本大题共8小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得a的方程，解方程即可得解； （2）由函数的单调性得不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为，所以， （2）因为，不等式， 所以， 即①， 因为在上单调递减， 所以①等价于， 由②得，解得， 由③得，解得， 取交集得不等式的解集是. 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简原式为，再弦化切代入即可求解； （2）求出的正弦值与余弦值，根据，利用两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 【小问2详解】 因为点B的横坐标为，且B是第二象限单位圆上的点， 所以B的纵坐标为，即， 则， 因为①，②， 由①②结合可得，， 因为点C与点B关于x轴对称，所以， 因为， 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 【答案】（1）2025 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“1－1－泊点”定义有，则，得，根据周期函数得，求得答案. （2）依题意，有解，法一：，求M的最大值；法二：利用齐次化，，利用基本不等式求M的最大值；法三：联立，即在上有解，换元，利用二次函数求出最大值； （3）依题意，转化为在定义域内恰有2个解，分类讨论求得答案. 【小问1详解】 因为任意，， 所以，所以， 所以为周期为2 的周期函数， 所以． 【小问2详解】 因为是的“－M－泊点”， 所以在上有解， 因为，所以， 法一：因为， 当且仅当时，即时取得等号， 所以，所以M的最大值为． 法二：因为 令，，所以， 当且仅当，即时取得等号，此时， 所以M的最大值为． 法三：因为在上有解， 即在上有解， 设，所以在区间上有解， 因为函数在上关于对称， 所以解得，所以M的最大值为． 【小问3详解】 因为函数恰有2个“1－1－泊点”， 所以在定义域内恰有2个解， 因为， ①当时，则， 所以，即，所以，舍去； ②当时，所以， 即（*）， ③当时，， 所以，即（**）； 依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解； （i）对于（*）式，令，， 设，所以在上递增，，， 所以关于m的方程在上解的情况如下： （a）当，即时，（*）没有实数根； （b）当，即时，（*）没有实数根； （c）当即0＜t＜2，（*）只有一个实数根. （ii）对于（**）式，令，， 设， 因为 函数的对称轴为，由（i）得： （a）当时在内需2个零点，且， 所以即，无解； （b）当时，在内需2个零点， 但，至多一个零点，舍去； （c）当时，在内需1个零点，且， 所以在上递增， 所以即，解得 所以 综上所述，t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市第六中学2025级高一年级第3次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题教师：周红文 刘秀明 审题教师：陈玉娟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 7. 设 ，，，则（ ） A. b <c<a B. a<c<b C. a<b<c D. c<b<a 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中，且，则（　　） A. B. C. D. 函数有2个零点 11. 设函数（是常数）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 13. 设，则________（结果用含的式子表示）. 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 四、解答题（本大题共8小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $