第6章 一次方程组 单元检测题 2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

七年级数学下册 第6章 一次方程组 单元检测题 华东师大版 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知方程组 的解满足 ，则k的值为（　　） A． B． C． D． 2．用代入法解方程组时，下列变形正确的是（　　）． A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 3．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 4．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 5．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如1，2对应的密文是-3，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是(　　) A．-1，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 7．解方程组时，把代入，得(　　) A． B． C． D． 8．现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有（　　） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 9．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 10．已知关于 ， 的方程组 中， 与 互为相反数，则 的值是（　　） A．0 B． C．3 D．9 11．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 12． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则　 　． 14．已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于x， y的二元一次方程组 的解为　 　． 15．如图是一个正方体的表面展开图，如果该正方体相对两个面上的代数式的值相等，那么x=　 　，y=　 　 16．科技馆门票的价格规定如表所示： 购票张数 1~50 51~100 100 以上 价格/(元/张) 15 12 10 某学校七年级一、二两个班共 103人去科技馆，其中一班有40多人，不足50人.经计算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1377 元，七年级二班有　 　人.若两个班联合起来作为一个团体购票，则可以省　 　元. 三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解下列方程组： （1）； （2）． 18．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个品牌的篮球和3个品牌的篮球共需380元；购买4个品牌的篮球和2个品牌的篮球共需360元． （1）求、两种品牌的篮球的单价． （2）我校打算网购20个品牌的篮球和3个品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中品牌打八折，品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 19．如图，两摞规格完全相同本数不同的书整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： （1）1本书的厚度为　 　cm，桌子的高度为　 　cm。 （2）若有x本上述规格的书整齐的叠放在讲台上，则这摞书的顶部距离地面的高度为　 　cm。（用含x的代数式表示） （3）在（2）的条件下，当x=40本时，求这摞书的顶部距离地面的高度。 20．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积. 21．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 22．为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同． （1）求每个A类礼盒的售价； （2）该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值． 23．综合与实践 探究操场跑道的设计与分析 素材 标准田径跑道的设计如右图。 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道； 任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14） 任务二 计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数） 任务三 小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数） 24．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： ②-①，得：x-y=1-k， ∵x-y=3， ∴1-k=3， 解得：k=-2， 故答案为：B． 【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得． 2．【答案】B 【解析】【解答】 A：由①，得，选项错误； B：由①，得，选项正确； C：由②，得，选项错误； D：由②，得，选项错误； 故选：B 【分析】根据方程的移项、系数化为1的运算法则计算即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： ， 解得 ， 故选：B． 【分析】本题是新定义的应用，以及二元一次方程组的求解，根据题设的新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，结合二元一次方程组的解法，求得a和b的值，即可得到答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm， 由第一个图形可知桌子的高度为：h﹣y+x=80， 由第二个图形可知桌子的高度为：h﹣x+y=70， 两个方程相加得：（h﹣y+x）+（h﹣x+y）=150， 解得：h=75cm． 故选C． 【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解． 5．【答案】A 【解析】【解答】由题意， 清酒x斗，醑酒y斗则相应价值的谷子为10x，3y故10x+3y=30，一共有5抖酒 ，故x+y=5，故可列方程组； 故答案：A. 【分析】由题意设清酒x斗，醑酒y斗，分别列出谷子和酒的斗数即可得方程组. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得 ，解得， ∴解密得到的明文是3，1． 故答案为：D 【分析】根据接收方收到的密文是1，7可得关于a、b的二元一次方程组，求解即可． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：把①代入②得：2y-5（3y-2）=10， 故答案为：D． 【分析】根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y、z都是非负整数， ∴是非负整数， ∴x一定是5的倍数， 当时，，则； 当时，，则，不符合题意； 综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚， 故答案为：B． 【分析】设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意列出方程组求出，再结合“x、y、z都是非负整数”求出x一定是5的倍数，最后求解即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：， ，得， ， ， ， . 故答案为：D. 【分析】观察方程组，由得到x+y的值，再根据列出关于k的方程，进而求得k的值. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：根据x与y互为相反数，得到x+y＝0，与方程组第一个方程联立，组成方程组： ， 解得： ， 代入 得：m＝2×3﹣3＝3， 故答案为：C． 【分析】根据x与y互为相反数，得到x+y＝0，与方程组第一个方程联立，组成方程组： ，求出x、y的值，再代入第二个方程确定出m的值即可。 11．【答案】D 【解析】【解答】解：方程组可以变形为：方程组 设， 则方程组可变为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，解得：x=5，y=10， 故选：D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，其中方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，将方程组变形为，设，结合题意，得出m=3，n=4，即可求出x，y的值，得到答案． 12．【答案】C 【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数 由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112 因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得 若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确. 故答案为：C. 【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。 13．【答案】 【解析】【解答】解：由消去未知数x，可得， 由消去未知数y，可得， 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【分析】根据加减消元法的定义即可得出方程组，解得m和n的值，再代入计算． 14．【答案】 【解析】【解答】解：由已知可得： x-1=2，y+1=-1. ∴. 故答案为：. 【分析】根据已知方程组的模型可以知道：x-1=2，y+1=-1.进而求出x、y的值即可. 15．【答案】3；1 【解析】【解答】解：根据题意，得 解得 故答案为3，1. 【分析】根据正方体的表面展开图判断相对面（中间隔一是相对），再根据题意列出方程组求解即可. 16．【答案】56；347 【解析】【解答】解：设七年级二班有x人，七年级一班有 y人. 由题意，得 解得 ∴七年级二班有56人. ∵1377-10×103=347(元)， ∴若两个班联合起来作为一个团体购票，则可以省347元. 故填：56，347. 【分析】根据“一班人数+二班人数=总人数；一班总票款+二班总票款=总票款”列方程求解，再根据总人数计算团体票总票款. 17．【答案】（1）解： ①+②得：3x=3， 解得：x=1， 将x=1代入①得：1+y=-1， 解得：y=-2， 故原方程组的解为 （2）解：原方程组变形为， ①+②得：6x=13， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为 【解析】【分析】(1)利用加减消元法即可求解； (2)利用加减消元法即可求解. 18．【答案】解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个； （2）20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）． 答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元． 【解析】【分析】（1）本题考察二元一次方程组在实际价格问题中的应用，核心是根据“总价=单价×数量”建立等量关系。解题时设A品牌篮球单价为x元，B品牌为y元，根据两种购买方案列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种品牌的单价； （2）本题考察折扣问题的计算，节省的费用=打折前总费用-打折后总费用，折扣后单价=原价×折扣率。解题时先分别计算打折前和打折后的总费用，再用前者减去后者，即可得到节省的费用。 19．【答案】（1）0.8；85 （2）(85+0.8x） （3）当=40时 原式=85+40×0.8 =85+32 =117 答：这摞书的顶部距离地面高度为117cm 【解析】【解答】解：（1）设每本书的厚度为xcm，桌子的高度为ycm 。 从图中可知，3本书和桌子的总高度是87.4cm，6本书和桌子的总高度是90.8cm， 由题意得： 解得x=0.8，y=85 所以1本书的厚度为0.8cm，桌子的高度为85cm. 故答案为：0.8；85； （2） 这摞书的顶部距离地面的高度 = 桌子的高度 ＋x本书的厚度=85+0.8x； 【分析】（1）从图中可知，3本书和桌子的总高度是87.4cm，6本书和桌子的总高度是90.8cm，可列方程组，解方程组的x，y值； （2） 根据这摞书的顶部距离地面的高度 = 桌子的高度 ＋x本书的厚度，用代数式表示； (3)当x=40，代入代数式85+0.8x=117；​​​​​​​ 20．【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm. 由题意，得 解得 答：小长方形的面积为135 cm2. 【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题. 21．【答案】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，，∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【解析】【分析】（）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据“ 2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨 ”列二元一次方程组即可求解； （）根据题意列二元一次方程，利用是正整数得到方案解题即可； （）求出各方案的费用，然后比较大小解题即可. （1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 22．【答案】（1）解：设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A类礼盒的售价为160元． （2）解：∵（元），， ∴每个B类礼盒的活动价为元． 根据题意得：， 解得：． 答：a的值为14． 【解析】【分析】（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据题意列出方程组，再求解即可； （2）根据题意列出方程，再求解即可。 23．【答案】解：任务一：2×36.5×3.14+84.39×2· =398米 答：第1跑道的长为398米. 任务二：（米） 答：第8道与第1道的长度之差为53.6米.· 任务三：设小方的速度为a米/秒，小明的速度为b米/秒. 小方与小明相遇时，两人的所跑过的路程之和为米. 于是有 解得 答：小方的速度为8.26米/秒，小明的速度为7.23米/秒. 【解析】【分析】（1）由图可知，第一跑道实际由左右两个半径为36.5m的半圆以及中间的矩形拼合而成，因此，求出半径为36.5m的圆的周长，再加上2倍直线跑道长84.39m即可； （2）只需要计算第8跑道与第1跑道的圆周长之差即可； （3）设小方的速度为a米/秒，小明的速度为米/秒，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解即可. 24．【答案】二、解：设官兵各有x人，y人．根据题意，得 ， 解得. 故有200名军官，800名士兵； 三、解：设有x个老头，y个梨．根据题意，得 ， 解得. 故有3个老头，4个梨． 【解析】【分析】设官兵各有x人，y人，根据“ 一千官兵一千布 ”可得x+y=1000，根据“一官四尺无零数，四兵才得布一尺 ”可得，列出方程组，解方程组即可；设有x个老头，y个梨，根据“ 一人一个多一个 ”可得y=x+1，根据“ 一人两个少两梨 ”可得y=2x-2，列出方程组，解方程组即可. 学科网（北京）股份有限公司 $