精品解析：四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度九年级期末教学质量监测 （九年级数学） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，，0 B. 4，0， C. 4，0， D. ，0， 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，， 故选：C． 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 事件：小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．关于这个事件下列判断正确的是（ ） A. 是随机事件 B. 是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件或不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道可能是红灯，也可能是绿灯，还可能是黄灯，是不确定的事件， ∴小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．这是随机事件， 故选：A． 4. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 5. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先得出，再求出的度数的度数，从而得出的度数，即可求解． 【详解】解：连接， 是直径， ， 五边形是的内接正五边形， 的度数的度数， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，直径所对的圆周角为直角． 6. 小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“经过的时间相等”列方程求解． 【详解】解：设实际经过了小时， 则， 解得：， ， ∴此时小张的表是， 故选：D． 7. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 8. 若双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查双曲线上的点的特征．熟练掌握双曲线上的点的坐标满足反比例函数函数的解析式是解题的关键．将点代入双曲线中求解，即可解题． 【详解】解：双曲线经过点， ， 解得， 故选：A． 9. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过过作轴于C，由旋转的性质得，，可得，证明，根据全等三角形的性质得，，即可求解． 本题考查坐标与图形的性质−旋转，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质求解是解题的关键． 【详解】解：过作轴于C， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选A． 10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑，根据两轮感染后有169台电脑被感染列方程求解即可． 【详解】解：设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：， 整理得， 则或， 解得，（舍去）， 故每轮感染过程中平均一台电脑会感染12台电脑， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据两轮感染后有169台电脑被感染列出方程是解题的关键． 11. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的范围，由方程有实数根知且，解得且，继而可得符合条件的整数和． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴整数解为，，，0， ∴， 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 在且中，符合条件的整数和为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 12. 如图，点C在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论：①；②；③线段的最小值为；④当时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是．其中正确的结论的序号为（　　） A. ①②③⑤ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①由对称证明出，得到只有当时，；②由点与点关于对称可得，再根据即可证得；③根据“点到直线，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值；④连接，证得是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切；⑤首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：①连接，如图1所示， 点与点关于对称， ， ， ， ， ，， ， 只有当时，，故①错误； ②， ， ，故②正确； ③当时，如图2所示， 是半圆的直径， ， ， ，， ， ， ， 根据“点到直线，垂线段最短”可得：点D在线段上运动时，的最小值为， ， ， 线段的最小值为，故③正确； ④当时，连接，如图3所示， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， 经过半径的外端点， 与半圆相切，故④正确； ⑤点与点关于对称，点与点关于对称， 当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， 扫过的图形就是图5中阴影部分， ，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，在中，，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义，即可作答． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， 而， ， 而， . 故答案为：4 15. 为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 ___________________________ . 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为，依题意，得， 解得：（舍去） 故答案为：． 16. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程可得关于n的方程，然后解n的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，进而得出，根据抛物线开口向上，最小值即为时的函数值，代入，即可 【详解】解：∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性求得对称轴是解题的关键． 18. 如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．根据圆周角定理得到，由点I为的内心得到，由三角形内角和等于可知，，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵与分别是所对的圆周角与圆心角， ∴， ∵点I为的内心， ∴，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由三角形内角和等于可知， ，， ∴， 代入得． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 【答案】（1）；（2）长方形菜园的长是，宽是 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等． （1）利用配方法直接解一元二次方程即可； （2）根据题意设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，再列方程计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 20. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （1）根据数字、2、3、4的四张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，即可求出抽到一张恰好是偶数的概率； （2）随机抽出一张，记其数字为，不放回，再随机抽出一张，记其数字为，画出树状图，再根据根的判别式即可求出关于的方程有实数根的概率． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 树状图为： ∵有实数根的概率 ∴ ∴ 共有12种等可能结果，其中满足方程有实数根的结果有6种， （方程有实数根）． 21. 一个抛物线形拱桥的示意图如图所示，桥的跨度为，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为（不考虑立柱的粗细），其中距A点处的立柱的高度为． （1）求正中间的立柱的高度． （2）是否存在一根立柱，其高度恰好是的一半？请说明理由． 思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？ 思考2：如果以直线为x轴，以点A为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？ 【答案】（1） （2）不存在一根立柱，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）以直线为x轴，以直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题意可得，，设抛物线的解析式为，代入即可得到抛物线的解析式，当时，，即可得到答案； （2）设存在一根立柱的高度是的一半，则，求得，由于相邻立柱之间的间距为米．最中间的立柱在y轴上，根据题意每根立柱上的点的横坐标为的整数倍，由于不是的整数倍，故与题意不符，从而得到结论． 【小问1详解】 解：以点O为原点，以所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 由题可得：， 设抛物线的解析式为， 解得： ∴， 当时，， ∴正中间的立柱的高度是． 【小问2详解】 解：设存在一根立柱的高度是的一半，即这根立柱的高度是5米． 则， 解得：， ∵相邻立柱之间的间距为米．最中间的立柱在y轴上， 根据题意每根立柱上的点的横坐标为的整数倍， ∴与题意不符， ∴不存在一根立柱，其高度恰好是高度的一半． 思考1：以直线为x轴，以直线为y轴，建立平面直角坐标系，计算较简便； 思考2：由题意，相邻立柱上的点的横坐标为10的整数倍． 22. （1）如图①在内，，，D是内一点，将绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合，D旋转到点E，连接，判断与的位置关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，如图②，当，延长交于点F，若时，求的长． （3）如图③，在和中，，，连接，填空： ①线段与的数量关系是 ； ②当时，点E到的距离的长为2，则线段的长为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，进一步证明，即可证明； （2）要求的长，根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，则，在中根据勾股定理可求得的长，根据，即可求解； （3）①要求线段与的数量关系，根据两边对应成比例且夹角相等可得，再根据相似三角形的性质即可求解；②要求线段的长，在中求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，设与交于点O， 由旋转的性质可知， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ∴， ∴； （3）①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： （1）建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． （2）画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． （3）观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． （4）得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 【答案】（1）一 （2）见解析 （3）当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点 （4） 【解析】 【分析】（1），分别为矩形相邻两边的长，取值应为正数； （2）直线为过原点和点的一条直线； （3）①将代入求解即可；②联立和整理得关于的一元二次方程，通过根的判别式讨论解的情况即可； （4）由（3）②可知当直线与函数的图象在第一象限有交点时的取值范围即为所求． 【小问1详解】 解：因为，分别为矩形相邻两边的长，所以， ，则满足要求的交点应在第一象限； 故答案为：一． 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 ①将代入，解得， 故周长的值为12． ②联立和整理得， 当时，该方程无解，有0个交点，即，解得； 当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得； 综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点． 【小问4详解】 由（3）知，当直线与函数的图象在第一象限有交点时，满足矩形的面积为，此时； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象平移、一次函数与反比例函数的交点和一元二次方程根的情况，熟练掌握联立一次函数与反比例函数的解析式求交点和根的判别式是解题的关键． 24. 已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）当时，求满足的整数的值． （3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， 抛物线与轴必有交点； （2）和； （3） 【解析】 【分析】（）求出的值即可求证； （2）当时，，，那么成立时，可通过画图方法，求得值； （3）由题意可知，，，那么成立时，可整理为，不妨设 ，那么其对称轴为， 仅存在一个整数，使得成立，那么时，且时，，从而求得a的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 即， 设，当或时，； 画函数如图所示： 由图象可知，当，即，满足条件的整数的值为和； 【小问3详解】 解：点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． ，， 不妨设， ， 其对称轴为，如图所示： ， ， 仅存在一个整数，使得成立， 时，；时，， ∴a的取值范围为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若． ①求证：． ②若的半径为5，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，则，然后问题可求证； （2）①由题意易证，则有，进而可得，再由相似三角形的判定得出，利用其性质即可证明； ②连接交于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得且，则有，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出，利用其性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连接交于G， ∵， ∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线， ∴且， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级期末教学质量监测 （九年级数学） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，，0 B. 4，0， C. 4，0， D. ，0， 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 事件：小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．关于这个事件下列判断正确的是（ ） A. 是随机事件 B. 是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件或不可能事件 4. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 5. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 9. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 11. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 12. 如图，点C在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论：①；②；③线段的最小值为；④当时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是．其中正确的结论的序号为（　　） A. ①②③⑤ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，在中，，则的度数为___________． 14. 如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为____________. 15. 为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 ___________________________ . 16. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 18. 如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 20. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率． 21. 一个抛物线形拱桥的示意图如图所示，桥的跨度为，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为（不考虑立柱的粗细），其中距A点处的立柱的高度为． （1）求正中间的立柱的高度． （2）是否存在一根立柱，其高度恰好是的一半？请说明理由． 思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？ 思考2：如果以直线为x轴，以点A为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？ 22. （1）如图①在内，，，D是内一点，将绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合，D旋转到点E，连接，判断与的位置关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，如图②，当，延长交于点F，若时，求的长． （3）如图③，在和中，，，连接，填空： ①线段与的数量关系是 ； ②当时，点E到的距离的长为2，则线段的长为 ． 23. 数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： （1）建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． （2）画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． （3）观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． （4）得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 24. 已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）当时，求满足的整数的值． （3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 25. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若． ①求证：． ②若的半径为5，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $