精品解析：海南省海南中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

海南中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. “为锐角”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 5. 已知为角终边上一点，则（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列函数，在定义域内既是奇函数又在区间上单调递增的有（ ）. A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）. A. B. 最小正周期为 C. D. 是的图象的对称中心 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）. A. 的周期为4 B. 的所有零点之和为14 C. D. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. 已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为___________ 12. 已知函数，则的单调递增区间是_____. 13. 已知函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. （3）若，且，求的值. 15. 已知函数对于任意实数，都有，且. （1）求的值； （2）令，求证：函数为奇函数； （3）求的值. 16. 某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. （1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； （2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 17. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向左平移个单位后得到函数的图象，记函数. （i）求的值域； （ii）若，，求的值. 18. 对于函数，若存在实数，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数（且）是型函数，求的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，. ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：C 2. “为锐角”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】若为锐角，则， 而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 4. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】B 【解析】 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 5. 已知为角终边上一点，则（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正切值，再根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由为角终边上一点，得， 故. 故选：A 6. 已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 7. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列函数，在定义域内既是奇函数又在区间上单调递增的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数定义，结合单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，定义域为，由可知为奇函数， 由正弦函数性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增，正确. 对于B，的定义域为， 由可知是奇函数， 因为都在上单调递增，所以在上单调递增，正确； 对于C，由得， 故的定义域为，不关于原点对称，错误. 对于D，定义域为，由可知是奇函数. 又，都在上单调递增，所以在上单调递增，正确； 故选：ABD. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）. A. B. 最小正周期为 C. D. 是的图象的对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意及图得， ，故A错，，所以，，故B正确，C错.，验证得到，是的图象的对称中心，D正确； 【详解】由题意及图得，在中，，故A错； 设该函数的最小正周期满足，，，故B正确，C错； ，，则是的图象的对称中心，D正确； 故选：BD. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）. A. 的周期为4 B. 的所有零点之和为14 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据为偶函数，判断函数的图象关于直线对称，根据的奇函数性质，进而可得到函数的周期为4；对于B，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标，然后画出图象判断即可；对于C，根据正弦函数的性质判断即可；对于D，根据函数的周期性进行计算即可. 【详解】对于A，为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ， 故函数的图象关于点对称，且函数的周期为4，故A正确； 对于B，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点， 且它们关于点成中心对称，所有零点之和为，故B正确； 对于C，结合已有分析以及对称性可知当时，，， 与均为奇函数，则当时，， 当时，， 又与的周期都为4，在上成立，故C正确. 对于D，当时，，， 而，，， ，故D错误； 故选：ABC. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. 已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 因为，又，所以，解得. 故答案为：4. 12. 已知函数，则的单调递增区间是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据整体代换法，结合正弦函数单调性求解可得. 【详解】由，得， 又因为，所以的单调递增区间为 故答案为： 13. 已知函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图像，结合函数的图像，令，转化为方程在和上分别有一个实数解，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，画出函数的图像，如图所示， 由函数的图像知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解， 若关于的方程有6个不同的实数解， 则方程在和上分别有一个实数解， 设，则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. （3）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，两边平方，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据题意，求得，联立方程组，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （3）根据题意，求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，两边平方得， 因为，所以，则. 【小问2详解】 解：由（1）得， 因为，可得，则，所以 则， 联立方程组，解得，所以. 【小问3详解】 解：因为，且，所以， 所以，则. 15. 已知函数对于任意实数，都有，且. （1）求的值； （2）令，求证：函数为奇函数； （3）求的值. 【答案】（1）； （2） 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）8106. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，，则 16. 某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. （1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； （2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 【答案】（1）且. （2）6月、7月、8月、9月、10月 【解析】 【分析】（1）根据条件①求出，由条件②③求出，进而得到的解析式. （2）根据已知条件列出不等式并化简，，进而求出结果. 【小问1详解】 因为且 由条件①，可知这个函数的周期是12，即，故； 由②③可知，最小，最大，且，. 则有，解得； 根据分析可知，当时，取最小值， 当时，取最大值. 故，且， ，又因为，故， 所以函数解析式为：且. 【小问2详解】 令，化简得， 即，解得. 因为，且，所以6、7、8、9、10， 即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资. 17. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向左平移个单位后得到函数的图象，记函数. （i）求的值域； （ii）若，，求的值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的图像求对称轴； （2）利用平移知识求出，从而求出，利用两角和差公式和辅助角公式整理.（i）利用余弦函数的图像和性质求值域；（ii）由的值得到，由的范围求出的范围，利用同角关系式求出和的值，求，将角变形为，即求，利用两角和的正切求解即可. 【小问1详解】 因为， 令，，解得， 所以图象的对称轴方程是. 【小问2详解】 由题知，， 于是 （i）因为，所以， 即的值域是. （ii）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即. 18. 对于函数，若存在实数，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数（且）是型函数，求的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，. ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据型函数的定义结合指数运算求值即可. （2）①根据型函数的定义得到与的关系，结合已知条件求解即可. ②将不等式问题转化为最值问题，分区间结合函数单调性或基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 因为函数是型函数， 所以对定义域中每一个实数都成立， 所以，即， 又且，所以. 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以，解得， 所以当时，； 当时，，所以. 综上，. ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则，此时恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 故时，恒成立时的取值范围为. 当时，， 当时，，故该式对成立， 由，得， 令，则，即在恒成立. 当在恒成立时，即在恒成立. 又函数在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以. 当在恒成立时，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 故时，恒成立时的取值范围为. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $