2026届江苏省常熟中学高三模拟考前适应性测试数学试题

2026届高三模拟考前适应性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，，则C中元素的个数为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.已知向量，，若与平行，则实数x的值是(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 3.若复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为(    ) A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 5.已知，且，则        A. B. C. D. 6.已知数列，中，，，，，若，则(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.已知双曲线的左右焦点分别是，，P在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为    A. 4 B. C. D. 2 8.已知函数，若，则最大值为    A. B. C. e D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，，则  A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，点P是正方体表面上的一个动点，则    A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 平面DEF截正方体所得截面的周长为 D. 当直线AP与平面ABCD所成的角为时，点P的轨迹长度为 11.已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.在中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为          . 13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为          . 14.若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知 求C； 若，的面积为，求a、 16.本小题15分 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. 求的通项公式; 证明： 17.本小题15分 如图，在三棱柱中，与的距离为，， 证明：平面平面 若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值. 18.本小题17分 已知函数 求曲线在处的切线方程； 求的单调区间； 若，且，证明：恒成立. 19.本小题17分 已知抛物线：的焦点F到准线l的距离为2，点，过F的直线交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为，，直线，与直线AB分别交于点M， 求的方程； 记M，N的纵坐标分别为，，当时，求直线AB的斜率； 设E为x轴上一点，记，分别为直线ME，ND的斜率．若为定值，求点E的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三模拟考前适应性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈Ay∈B},则C中元素的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知向量ā=(1,1)，b=(2,x),若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是() A.-2 B.0 C.1 D.2 3.若复数z满足1+2)：=4+3i,则==() A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为() A.72 B.84 C.96 D.108 5.已知a∈(0，π)，且3cos2-8coSa=5,则Sina=() A. 5 83 c 3 3 3 D.v5 9 6.己知数列{a,{b}中，4=2，b=6,a+1=2a.,b=2b-a,若an=bn,则m=() A.4 B.5 C.6 D.7 已知双迪线令Q0b>0的五焦点分别是R,R,P在第三象限在双恤线的浙近线上 |PF,=FE|,线段PF的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为() A.4 B.V3+1 c.5 D.2 8已知函数f)=e-m-e+ba>0),若f(x)0,则b-1最大值为(） A.e2 B.e C.e D.e2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设4，B是一个随机试验中的两个事件，P(4B)+P(叫A)-1PAUB)-子，则() A.事件A,B相互独立 B若4)日则P0-PY 8 C.P(AB)≤P(AB) D.若P(AB)=P(AB),则必有P(A)=P(B) 第1页，共4页 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱AB,BB1的中点，点P是正方体表面 上的一个动点，则() D C E .P D A三棱锥A-PBD体积的最大值为氵 B.若点P满足AP⊥DE,则动点P的轨迹长度为2+√5 C.平面DBF截正方体ABCD-ABCD所得截面的周长为V2+8 3 D.当直线AP与平面ABCD所成的角为牙时，点P的轨迹长度为π+4V2 1.已知P(2,V2),将向量OP绕原点O逆时针旋转号到O0的位置，M,N为平面内两点，使得 1OM=√6-√2，PM=2,|PN=QN1,则下列结论正确的是() A056反+v6 2’2 B.|P9=2 C.|2不N-Po1mm=2V5 D.MN.PO=4-43 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 在△ABC中，其内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,若B=4,b=6,a'+c2=2W2ac,则 的面积为 13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4，从中有放回地随机取球，每次取1个球， 共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为一 14若函数f()。二-m(2x+1)恰有2个零点，则实数m的取值范围是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C.已知cos2C-3cosC-1=0. I)求C: (2)若c=2V3,△ABC的面积为V5,求a、b. 第2页，共4页 16.(本小题15分) 记Sn为数列{a}的前n项和，已知a4=1, 是公差为二的等差数列， a )求{a}的通项公式； (2)证明： 1+1++ <2 4142 a。 17.（本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，AA与BB,的距离为V5,AB=AC=AB=2,AC=BC=2N2 B B I)证明：平面AABB,⊥平面ABC, (2)若点N在棱A,C上，求直线AN与平面AB,C所成角的正弦值的最大值. 第3页，共4页 18.（本小题17分) 已知证数) I)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间： )若>>>0，且e-2-2=0,证明：）-f<1恒成立 1一2 19.(本小题17分) 己知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F到准线1的距离为2，点D(P,0),过F的直线交于A,B两点， 过A,B分别作I的垂线，垂足分别为A,B,直线AD,B,D与直线AB分别交于点M,N. ①)求T的方程： (2)记M,N的纵坐标分别为yw,yw,当 1+1=1时，求直线AB的斜率： yM yN 没E为x轴上一点，记k,k,分别为直线MB,D的斜率，若为定值，求点E的4 第4页，共4页 2026届高三模拟考前适应性测试 数学参考答案及试题解析 参考答案 1. B  2. D  3. A  4. B  5. A  6. B  7. A  8. A  9. BCD  10. AD  11. ABC  12. 3  13.   14.   15. 解：因为， 所以， 解得或， 因为，所以， 又，所以； 由知， 则的面积，所以①， 由余弦定理得，所以②， 联立①②解得  16. 解：依题意得，①; ②; 由②-①得： 当且时，， 又也符合上式，因此 ，   17. 解：取棱中点D，连接BD， 因为1B，所以， 因为三棱柱1B1C1， 所以1， 所以1，所以 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 同理， 因为，且，平面， 所以平面， 因为平面ABC， 所以平面平面 取AB中点O，连接， 取BC中点P，连接OP，则， 由知平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，则， 以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，， ，，， 设面的法向量为，得，得， 取，则，，所以， 设直线AN与平面所成角为， 则，， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线AN与平面所成角的正弦值的最大值  18. 解：因为，函数定义域为， 可得，此时，又， 所以曲线在处的切线方程：； 由知，当时，； 当或时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和； 证明：由知， 因为，所以， 所以， 设，，所以， 设，，所以由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，又， 由零点存在性定理知，有一个零点，且大于0， 由且知是的零点， 当时，， 故，即， 所以当且时，恒成立.   19. 解：由题意知， 所以抛物线方程为 设直线AB的方程为，，， 则，，， 所以，得， 所以，， 所以直线的方程为：， 与直线AB的方程联立， 解得，同理， 所以， 所以， 所以直线AB的斜率为 设， 因为 因为，， 所以 ， 当时，为定值. 所以  试题解析 1. 【分析】 本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合中元素的特性． 根据题意求出集合C，再得到C中元素的个数即可． 【解答】 解：集合，，， 集合， 中元素的个数为4， 故选： 2. 【分析】 本题考查向量平行关系的坐标表示，考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 方法一：先分别求出向量与的坐标，根据平行向量的坐标关系可得关于x的方程，解方程可得结果. 方法二：因为与平行，则存在常数，使，即，根据向量共线的条件知，向量与共线，故 【解答】 解：，， ， 因为与平行， 所以， 解得 故选： 3. 解：由题意，得 故选：A 4. 解：分两种情况： 第一种，先选择3个不同的球，放入其中一个盒子，再将剩下的1个球放入另外一个盒子，不同的方法有种； 第二种，先把4个不同的小球平均分成两组有种，再选择一组中的2个不同的球，放入其中一个盒子，再将剩下一组的2个球放入另外一个盒子，不同的方法有种， 一共有种. 故选 5. 【分析】 本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题. 依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可. 【解答】 解：， ，即， ，，即， 又，， ， 故选 6. 【分析】 本题考查递推关系求通项，属于中档题. 利用递推关系，求出数列的通项，列方程即可求解. 【解答】 解：数列，满足，， 故常数， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 由于， 所以， 整理得：， 所以数列是以3为首项，为公差的等差数列; 所以， 整理得：， 由于， 所以， 解得 故选 7. 解：设P点坐标，双曲线渐近线方程为，则， 又，可得， 整理为：① 则的中点M坐标为，又M在双曲线上，代入可得： 结合得出代入①式，经过化简可得， 解得， 故选： 8. 【分析】 本题考查导数中的恒成立问题和利用导数求最值，属于较难题. 令 ，解得 ，分、和三种情况讨论，求出，得，构造函数，利用导数即可求解. 【解答】 解：由题意，  ， 令 ，解得 ， 当 时， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ，不满足 ， ， 当 时， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ，不满足 ， ， 当 时，函数 成立，符合条件， 所以 ，即 . 令 ， 则 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 . 则最大值为 9. 解：设，， 因为，所以，，，因此，且 因为 ，，所以由条件概率公式得： ，即 又因为，所以，因此， 所以，解得或， 而，且，因此 选项A：事件相互独立需满足，代入得， 即，而 ，因此，但，故无法确定独立性，A错误； 选项B：若，由得， 又，故， 则，B正确； 选项C：，由及，得， 根据基本不等式，代入得， 化简得，即，故，C正确； 选项D：，，由，交叉相乘得，整理得， 结合，代入化简可得，D正确. 故选：BCD 10. 解：对于A，显然为正三角形， ， ， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 点C是正方体表面上到平面距离最大的点， 此时三棱锥是棱长为的正四面体， 又点C到平面的距离， 则，故A正确；   对于B，取中点G，BC中点K， 连接GK，，AK， 由， 得， 则，， 由平面，平面， 所以， 而，，，平面， 所以平面， 所以，得点P的轨迹为四边形除点A外， 又，则动点P的轨迹长度为，故B错误； 对于C，以 D为坐标原点，以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，    依题意可得截面是五边形DHFEM， 显然， 由平面几何知识可知， 因为， 所以， 得，同理可得， 又，，， 于是， ， ， ， 所以平面DEF截正方体所得截面的周长为，故C错误； 对于D，由平面平面ABCD， 得直线AP与平面所成的角为， 连接，， 由平面ABCD，平面ABCD，且， 则点P为线段或上任意点除点A外， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点P为圆弧上任意点时，连接，   由平面， 得是AP与平面所成角， 而，则， 因此P点轨迹是线段，及圆弧除A点外， 所以P点轨迹长度为，故D正确. 故选： 11. 【分析】 本题考查命题真假的判断，考查向量的数乘和线性运算、圆的性质、垂直平分线、中点坐标等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题． 根据平面向量的性质，建立平面直角坐标系，利用数形结合，以及圆与圆的位置关系的性质，逐个选项进行计算和验证，进而能求出结果． 【解答】 解：由已知得，，向量绕原点O逆时针旋转到， 则是等边三角形，故B正确； ，过Q作轴，得， ，， ，，故A正确； 以Q为圆心，半径为作圆，以P为圆心，半径为2作圆，则圆Q和圆P相交的点就是M， 联立两圆的方程， 两圆方程作差，可得点M在直线上， 整理得， 代入圆Q方程化简得， 解得，或， 故，， 又，则N点在PQ的垂直平分线FG上，而PQ的中点坐标为，，故， 直线FG的方程为，设N点坐标为， ，在FG上一定存在一点使得， 故根据对称性，取进行运算即可， ，， 对于C，， ， 化简得， 当且仅当时，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选 12. 【分析】 本题考查利用余弦定理解三角形以及求三角形面积，属于基础题. 利用余弦定理求ac，由三角形的面积公式即可求解. 【解答】 解：由题意，得， 解得， 故的面积为 故答案为： 13. 解：有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，所有可能的结果总数为种， 这列数中恰有3个不同整数的结果为种， 故概率为 故答案为： 14. 【分析】 本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题. 恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合求解. 【解答】 解：令，得，即， 令， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以的图象如图所示， 设l是的图象的切线，切点为，则切线斜率为， 所以l的方程为，又l经过点， 所以，即，解得或， 或， 所以由图可知，当或，即或时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数m的取值范围是 故答案为： 15. 本题考查二倍角余弦公式、三角形面积公式、利用余弦定理解三角形，属于较易题. 利用二倍角余弦公式将已知等式变形，可得，解方程求出的值，结合角C的取值范围求出角C； 利用三角形面积公式结合中结论求出ab的值，利用余弦定理求得的值，解方程组求出a、b的值. 16. 本题考查由数列的递推关系求通项，等差数列的通项公式，利用裂项相消法求和，属于中档题. 根据等差数列的通项公式得，由与的关系得，再由累乘法求解即可. 由裂项相消法求和即可. 17. 本题考查面面垂直的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题. 取棱中点D，连接BD，结合条件可得，，根据线面垂直的判定平面，即可证得平面平面ABC； 取AB中点O，连接，取BC中点P，连接OP，则，以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 18. 详细解答和解析过程见【答案】 19. 详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $