精品解析：河南省安阳市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周练17

2025-2026学年上学期练习（十七） 高三年级数学试题 时间：2026年1月22日 一、单选题(每题5分，共75分) 1. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 6. 从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A. “至少有1名女生”与“都是女生” B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生” C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生” D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生” 7. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 8. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 若，，，且，则的最大值是（ ）． A. B. C. D. 10. 现需要给一个四棱锥的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶（在同一条棱上的两个顶点）不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 144 11. 已知函数，对满足恒成立，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 12. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 13. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知随机事件相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，共24分) 16. 设，，则（ ） A. B. C. D. 17. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 18. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 19. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 三、填空题(每题5分，共20分) 20. 已知正数满足，则__________. 21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．则__________． 22. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 23. 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 四、解答题(24题15分，25题16分，共31分) 24. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． （1）证明：； （2）若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 25. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期练习（十七） 高三年级数学试题 时间：2026年1月22日 一、单选题(每题5分，共75分) 1. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由可得且，解得或， 即或，又， 故. 故选：D. 2. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由为正实数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 3. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故B情况可能出现； 当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现； 当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现. 所以不可能出现. 故选：A 4. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，求得二项式的展开式的通项为，进而求得展开式中含的项，得到答案. 【详解】由， 又由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中含的项为： ， 所以展开式中含的系数为. 故选：A. 5. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 6. 从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A. “至少有1名女生”与“都是女生” B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生” C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生” D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C. 【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错； “至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错； “至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错； “恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确. 故选：C. 7. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】用排除法，5本书的全排列减去语文书和数学书中只有一种是两本相邻的排列数，再减去语文书相邻数学书也相邻的排列数即可得． 【详解】 故选：B． 8. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 9. 若，，，且，则的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由向量数量积的定义和余弦函数的有界性，即可得到所求最大值． 【详解】解：因为，，且， 所以， 所以， 所以， 当且仅当与同向时取等号，因此的最大值为； 故选：D． 10. 现需要给一个四棱锥的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶（在同一条棱上的两个顶点）不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】分用四种、三种颜色，再结合排列数求出不同情况下的方案数，即可得. 【详解】若用四种颜色，则同色或同色，则涂色方案有种； 若用三种颜色，则同色且同色，则涂色方案有种. 综上，不同的涂色方案有种. 故选：B 11. 已知函数，对满足恒成立，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，列式化简求出的值. 【详解】因为，， 所以， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 所以， 故选：A. 12. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率. 【详解】设，则，， 易得，故， 故在中，，故． 故选：D 13. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 14. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 15. 已知随机事件相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式，结合条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为随机事件相互独立， 所以， 由， 由， 由， 所以， 故选：A 二、多选题(每题6分，共24分) 16. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出和，即可判断A，求出，即可判断B；求出，并求出它的模，即可判断C；分别求出和，即可判断D. 【详解】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 17. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D. 【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误； B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确； C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误； D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，D正确． 故选：AC 18. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 19. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题(每题5分，共20分) 20. 已知正数满足，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：16 21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简可得，然后利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 由， 则，即， 由正弦定理可得，， 则， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 22. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可. 【详解】甲袋任取两个球的可能性有三种： 甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：， 故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：. 故答案为： . 23. 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可. 【详解】∵DA，DB，DC两两垂直，， ∴， 所以是边长为的等边三角形， 所以边长为的等边三角形的高为：， 所以， 设到平面的距离为，， ∵， 所以， 解得，则， 所以以为球心，为半径的球与面的交线为一个圆，且圆的半径为， 所以交线长度为：. 故答案为：. 四、解答题(24题15分，25题16分，共31分) 24. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． （1）证明：； （2）若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，，，如图： 因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 25. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】（1） （2）分布列如下表所示： 1 2 3 4 ， （3） 【解析】 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【小问1详解】 设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 【小问3详解】 依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $