精品解析：陕西省兴平市西郊高级中学2025-2026学年高三上学期第九次周练数学试卷

高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（九） 一元函数的导数及其应用+滚动内容 （时间：40分钟 分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 2. 若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 3. 我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t关系满足函数（为初速度，k为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到时速600公里需（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处取得极小值21，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5. 已知函数，则“”是“函数恒小于零”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 已知实数x，y满足，，且使得等式成立，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 已知函数的导函数为，且，则________. 10. 滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为__________元/套时，月利润最大． 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 12. 已知函数，且. （1）求实数m的值； （2）求函数在定义域上的单调区间. 13. 已知函数，． （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习考点滚动提升卷·数学（九） 一元函数的导数及其应用+滚动内容 （时间：40分钟 分值：100分） 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当时， 所以函数的单调增区间是. 故选：D. 2. 若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值. 【详解】，， 由题意得：，解得： 故选：B 3. 我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t关系满足函数（为初速度，k为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到时速600公里需（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给函数解析式先求得k的值，再利用即可求得答案. 【详解】由题意得匀加速过程中，位移x与时间t关系满足函数， 则由从静止状态匀加速至位移公里需可得， 则由可得（s）， 故选：C 4. 已知函数在处取得极小值21，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，且，根据题意，列出方程组，求得的值，结合函数的单调性和极值点的定义，即可得到答案. 【详解】函数的定义域为 ，， 因为函数在处取得极小值，可得， 即，解得或， 若时，可得，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当处取得极小值，符合题意； 若时，可得，且， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 此时，当处取得极大值，不符合题意，舍去， 综上可得，. 故选：D. 5. 已知函数，则“”是“函数恒小于零”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】，作出与的图象，求出过与相切的直线方程. 结合图象即可求解. 【详解】，作出与的图象，如图 求出过与相切的直线方程. 设切点坐标为，则切线的斜率为：，又该切线过点， 所以，解得，，由图可知，所以当时 ，即. 的充要条件是. 所以“”是“函数恒小于零”的必要不充分条件. 故选：B 6. 笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干已知图像判断x>0时g(x)图像的形状，根据g(x)图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像． 【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称， 当x>0时，， 设y，则，∴此时f(x)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆， ∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分， ∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足． 故选：A． 二、选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得8分，有选错的得0分，部分选对的得4分. 7. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 8. 已知实数x，y满足，，且使得等式成立，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由可得，利用单调性求出的范围；变形给定等式并构造函数，利用导数求出此函数值域即可得的范围. 【详解】由，得，而，则在上单调递减， 于是，则，A正确，B错误； 等式，显然，即，设， 原等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，而，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，因此函数的值域为， 依题意，，解得，即，C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 已知函数的导函数为，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数思想，进行代入求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，所以， 故答案为： 10. 滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为__________元/套时，月利润最大． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意可得月利润为，求导，利用导数判断函数单调性，进而可求最值点. 【详解】设A系列木版画的月利润为，则，， 可得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，利润取到极大值，也是最大值， 即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大． 故答案为：50. 四、解答题：本题共3小题，每小题12分，共36分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 11. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求出，得出，再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；再计算端点处的函数值，，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【小问1详解】 由可得. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为，且， 所以，即，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则. 令得或， 所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 12. 已知函数，且. （1）求实数m的值； （2）求函数在定义域上的单调区间. 【答案】（1）； （2）递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）由给定函数值，代入求出m的值. （2）由（1）求出及导数，再解导数值大于0、小于0的不等式即得单调区间. 【小问1详解】 函数，由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，其定义域为， 求导得， 由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 13. 已知函数，． （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在上单调递增，即在上恒成立，由函数单调性讨论恒成立问题即可； （2）由导数法直接研究或由换元法化简后研究恒成立问题. 【小问1详解】 ，因为在上单调递增， 所以，恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，所以，则． 故实数a的取值范围为； 【小问2详解】 因为恒成立，所以恒成立， 设，，则， 设，，则，所以在上单调递减， 且，，则，使， 即，且，， 列表得 x ＋ 0 － 极大值 所以，则. 解法二：恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上的值域为． 因为，所以，恒成立， 设，，则，令得，列表得 t 1 ＋ 0 － 极大值 所以，则． 解法三：恒成立，即恒成立， 令，，则在上单调递增，的值域为R． 因为，所以，恒成立， 设，，则，令得，列表得 t 0 ＋ 0 － 极大值 所以，则． 故实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $