精品解析：上海中学东校2025-2026学年高一上学期期末素质评估数学试题

上海中学东校2025-2026学年高一上学期期末素质评估数学试题 2026.1 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 已知角终边过点，则____________. 2. 已知中，，则外接圆半径为____________. 3. 已知且，则____________. 4. 已知，且，则的值是____________. 5. 已知函数，当时，取得最小值，则________. 6. 已知，，，均为锐角，则________. 7. 函数的单调递增区间为___________. 8. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 9. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 11. 已知函数，若，则的取值范围是____________. 12. 已知，则正实数的值为____________. 13. 已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是_______. 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 二、单选题（每题3分，共12分） 15. 已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 已知，则下列结论不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 17. 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18. 已知函数的定义域为，且，若，有以下4个命题： ①是周期为4的周期函数； ②是奇函数； ③的图像关于点对称； ④， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共56分） 19. 设全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求的取值范围. 20. 若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求实数的取值范围． 21. 已知，α∈（0，π），求下列式子的值： （1）sinαcosα； （2）； （3）sin3α+cos3α． 22. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 23. 定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”． （1）判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由 （2）若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围 （3）若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学东校2025-2026学年高一上学期期末素质评估数学试题 2026.1 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 已知角终边过点，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边过点， 所以. 故答案为： 2. 已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 3. 已知且，则____________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用对数指数互化以及指数运算求解. 【详解】因为， 所以 则 故答案为：6 4. 已知，且，则的值是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由于，且，故或， 故答案为：或 5. 已知函数，当时，取得最小值，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时，等号成立， 此时， 则， 故答案为： 6. 已知，，，均为锐角，则________. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知角的余弦函数值，求出对应角的正弦函数值，再利用两角和差的余弦公式即可. 【详解】因为，均为锐角，所以，，由，， 易知， . 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了由所求角转化为已知角，再利用已知角的三角函数值代入求所求角的三角函数值，属于中档题. 7. 函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性规律可求出结果. 【详解】由得或，即函数的定义域为， 因为，且在上为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【点睛】易错点点睛：容易忽视函数的定义域导致错误. 8. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 9. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求解和的解集，再求解不等式或. 【详解】由条件可知，在单调递增，且在单调递减， 所以，或， 所以不等式，等价于或， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11. 已知函数，若，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解. 【详解】设直线与相切， 由图象可知， 两方程联立消去得：， 因为直线与抛物线相切，故 即， 作出及切线的图象，如图， 由图象可知，当时，成立. 故答案为： 12. 已知，则正实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】考查转化与化归思想，利用三角恒等变换求解. 【详解】设， 则, , 解得, 由, 即,解得或（舍去）， 故答案为： 13. 已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 二、单选题（每题3分，共12分） 15. 已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 16. 已知，则下列结论不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 17. 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，结合不等式求得其最小值为；当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立； 即当时，函数的最小值为， 当时，， 要使得函数的最小值为， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 18. 已知函数的定义域为，且，若，有以下4个命题： ①是周期为4的周期函数； ②是奇函数； ③的图像关于点对称； ④， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得函数的周期性，结合可判断对称性，进而结合选项即可逐一求解. 【详解】由可得， 故是以4为周期的周期函数，故①正确， 由可得， 故是的一条对称轴，故③错误， 由是的一条对称轴可得， 又，故，故是奇函数，故②正确， 在中令，则， 又 在中令，则， ， , 结合周期性，以此类推可得 ，故④正确， 故选：C 三、解答题（共56分） 19. 设全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合B，结合集合间的运算求解即可； （2）分析可知，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为集合， 且集合，所以； 又因为全集，则或， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 又因为集合，集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【小问1详解】 由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. 【小问2详解】 由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 21. 已知，α∈（0，π），求下列式子的值： （1）sinαcosα； （2）； （3）sin3α+cos3α． 【答案】（1）；（2）3；（3）． 【解析】 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值； （2）根据题意得到，结合已知求出、、，利用二倍角的正切公式求出，利用的范围可得结果. （3）利用立方和公式即可求解． 【详解】（1）∵，α∈（0，π）， ∴两边平方，可得1+2sinαcosα， ∴解得sinαcosα； （2）∵0，① 又α∈（0，π），∈（0，）， ∴sinα＞0，cosα＜0，tan0， ∴sinα﹣cosα，② ∴由①②可得sinα，，所以， 又，所以，整理得， 解得或(舍)， 所以. （3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）． 【点睛】关键点点睛：利用同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式求解是解题关键. 22. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2），值域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值； （2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域； （3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 23. 定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”． （1）判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由 （2）若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围 （3）若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，． 【答案】（1）不是上的“倍型线性函数”，理由见解析 （2）； （3）证明如下： 因为是定义域为的偶函数， 所以， 又是定义域上的“倍型线性函数”， 所以，，， 当时，显然成立， 当时，不妨设， 由，，可得； 若，则由， 可得； 若， 因为是偶函数，所以， 则 ． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）结合新定义，通过举反例即可判断； （2）结合新定义，构造不等式即可求解； （3）由函数新定义，结合偶函数的性质即可求证. 【小问1详解】 不是上的“倍型线性函数”， 理由如下：假设是上的“倍型线性函数”， 则，，， 不妨令，则，即， 取，，则，， 因为，所以， 与矛盾，从而假设不成立， 故不是上的“倍型线性函数”； 【小问2详解】 因为为上的“倍型线性函数”， 所以，，， 整理得， 当时，上式显然成立， 当时，上式等价于， 则， 由，，得， 从而， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $