4.3公式法寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.3公式法寒假预习课时练 一、单选题 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式中，能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义依次进行判断即可． 【详解】解：A、不能进行因式分解，不符合题意； B、不能进行因式分解，不符合题意； C、可以进行因式分解，符合题意； D、不能进行因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解． 3．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 4．下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 5．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键；因此此题可根据“平方差公式”进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 6．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 7．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理、因式分解的应用等知识点，熟练掌握因式分解以及三角形三边关系是解题的关键． 先因式分解，然后后利用三角形三边关系进行分析即可解答． 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．已知 a，b，c 是正整数，，且，则 等于（    ） A． B．或 C．1 D．1 或 11 【答案】D 【分析】把进行因式分解得到，再根据题意得到都是正整数，则或． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a，b，c 是正整数，， ∴都是正整数， ∴或， 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将进行因式分解得到是解题的关键． 9．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 【答案】C 【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号． 本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是的三边长，   ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若，则的值为 ． 【答案】0；； 【分析】首先将原方程两边3次方，然后移项，再通过因式分解法解方程即可得出结论. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或或或， 解得或或． 故答案为：0；；． 【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，属于基础知识的考查，难度不大． 16．（1）若实数满足，，则的值是 ． （2）若，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式，再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，最后整体代入，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为：． （2）， ． 故答案为：． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. （1）用提公因式法因式分解即可； （2）用提公因式法和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．分解因式：． 【答案】 【分析】利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】原式． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解．观察式子的形式特点，选择正确的因式分解方法是解题关键． 19．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）最简公分母是，通分即可； （2）先把每个分母因式分解，最简公分母是，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ． 【点睛】本题考查了分式的通分，解题关键是找准最简公分母． 20．已知实数满足，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了因式分解的应用．将变形为，然后整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ． 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用； （1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 22．将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． (1)利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． (2)类比应用：若，满足，求与的值． (3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案； （2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可； （3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：解：① ； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形。 23．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了综合提公因式与完全平方公式的因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 24．下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） （提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知，求式子的值； (2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 【答案】(1) (2)等腰的周长为32或34． 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，利用提公因式法分解得到，再求得，整体代入求解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴， ∴原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； ∴等腰的周长为32或34． 试卷第2页，共14页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $4.3公式法寒假预习课时练 一、单选题 1.下列多项式中，能用公式法分解因式的是() A.x2-xy B.x2+y2 C.x2-y2 D.x2+xy 2.下列多项式中，能因式分解的是() A.x2-y B.x2+y2 C.x2-4 D.x2+xy+x2 3.给出下列式子：①--w-,②02-b+号，图-4ab-。+46:国4+9-12：⑤ 3x2+6xy+3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列多项式能用公式法分解因式的有() 0a-2a-1:②--广，@-r+y@4-a+1:⑤a2-4b+462. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.一个多项式分解因式的结果是b+3(3-b),那么这个多项式是() A.b6-9 B.9-b C.b6+9 D.-b6-9 6.下列各式：①--户；②1-4次，®2+b+:国+20+y；⑤r-+分可以用公式法分解因式 1 的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.若实数a,b,c是ABC的三边长，则(a-b)-c2的结果() A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定 8.己知a,b,c是正整数，a>b,且-ab-ac+bc=11,则a-c等于() A.-1 B.-1或-11 C.1 D.1或11 9.下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是() A.bx2-b=b(x2-1) B.m3+m=m(m2+1 C.x3+16x2=xx2+16x D.（x-3)(x+1）=x2-2x-3 10.已知a,b,c是ABC的三边长，则(a2+b2-c22-4a2b的取值为() A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.非负数 1/3 二、填空题 11.计算：a2-4b2= 12.若多项式x2+2(m-1)x+9可分解因式为(x-3)的形式，则m的值为一 13.己知正方形的面积是y2+8y+16)m2,则正方形的边长为m,（y>-4) 14.分解因式：a+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2= 15.若-x2=1-x2,则x的值为一 16.(1)若实数a,b满足a+b=5,ab+ab2=-15,则ab的值是 (2)若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 三、解答题 17.因式分解： (1)3x-6; (2)2x2-4x+2 18.分解因式：（2x+6)2-(2x-5)2. 19.通分： 0点与品· ab b ②。h与a+b 20.已知实数a满足a2-2a-3=0,求代数式a3-2a2-3a+5的值. 21.用简便方法计算： (1)60×3.52-120×3.5×1.5+60×1.52: a个g1) 22.将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组 分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2,3+1”等分法.如“2+2”分法： ar+ay+bx+by=(ar+ay)+(bx+by)=ax+y)+b(x+y)=(x+y(a+b).再如“3+1”分法： x2-2xy+y2-16=(x2-2xy+y2）-16=(x-y2-42=(x-y+4)(x-y-4). (1)利用上述方法解决下列问题： 2/3 分解因式：①ac-bc+a-b ②a2-2ab+b2-1. (2)类比应用：若a,b满足a2+b2=12a+8b-52,求a与b的值 (3)延伸探究：若ABC三边a,b,c满足ac-bc+a2-2ab+b2=0,请判断ABC的形状，并说明理由. 23.把下列各式分解因式： (1)6xy-x2-9y2; (2)-m3+2m2-m; (3)3x2-6x+3; (4)4xy2+4x2y+y3. 24.下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2-xy+4x-4y =(x2-xy)+(4x-4y)（分成两组) =xx-y)+4(x-y)(提公因式) =(x-y(x+4),(提公因式) 乙：a2-b2-c2+2bc =a2-b2+c2-2bc(分成两组) =a2-(b-c2(运用公式) =(a+b-c)(a-b+c(运用公式) 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知a-b=3,b-c=-4,求式子a2-ac-ab+bc的值； (2)已知a,b,c为等腰ABC的三边长，且满足a2+b2=20a+24b-244,求等腰ABC的周长. 3/3