精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

2025~2026学年芦台一中第一学期第二次学习诊断 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若角满足，，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 10. 已知，则_____. 11. _____. 12. 已知函数，若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_____. 13. 函数的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，，则的最小值为_____. 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为_____________ 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）若，化简并求值. 16. 化简与求值： （1） （2） （3） 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明在的单调性； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年芦台一中第一学期第二次学习诊断 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用扇形面积公式计算即可. 【详解】由题知：，故. 故选：A 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理判断选项. 【详解】∵函数在上均是增函数， ∴函数在上是增函数， ∵，，∴， ∴函数在区间上有唯一零点. 故选：B． 4. 已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位圆求出，再由三角函数的定义得出，最后结合诱导公式可得. 【详解】由题意可知，且，得，则， 故. 故选：B 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 6. 若角满足，，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果. 【详解】，是第二或第四象限角； 当是第二象限角时，，，满足； 当是第四象限角时，，，则，不合题意； 综上所述：是第二象限角. 故选：B. 7. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 8. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：， ，， ， ∴， 故选：A. 9. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，又， 即，所以， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 10. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正、余弦齐次式的化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 11. _____. 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 故答案为：. 12. 已知函数，若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用换元法，令，则在区间上是减函数，结合对数函数和二次函数以及复合函数单调性之间的关系，可知在区间上是减函数且恒成立，最后根据二次函数的性质进行转化求解即可． 【详解】函数是由和复合而成， 又在区间上为增函数，在上单调递减， 在区间上为减函数，且恒成立，对称轴， 则，即，解得, 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 函数的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数得到与的关系，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】在函数中，令，则，因此定点的坐标为， 把代入，得：，化简得：， 因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 因此，，即最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象， 时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）若，化简并求值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据诱导公式和同角三角函数的商数关系化简计算即可． 【小问1详解】 角为第二象限角，且， ， . 【小问2详解】 根据诱导公式，化简得， 把代入得. 16. 化简与求值： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由指数运算性质，分数指数幂进行化简求值即可； （2）根据对数的运算法则及性质化简求值即可； （3）结合对数运算性质和对数恒等式进行化简求值即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式求解即可； （2）根据函数奇偶性定义即可求解； （3）根据对数函数的单调性及定义域即可求解． 【小问1详解】 由题意得且， 解得，所以函数定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，则， 则且， 解得． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明在的单调性； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在和上单调递减，证明如下： 由题意得 ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性. （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 在函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足， 即函数为奇函数，符合题意，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 19. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，所以， 即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $