精品解析：河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程的公式即可得到答案. 【详解】由题意得，则其渐近线方程为. 故选：B. 2. 已知空间向量，若，其中，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：B 3. 已知函数在处的导数为12，那么 A. -6 B. 6 C. 12 D. -12 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和极限的定义计算． 【详解】， 故选：A. 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列基本量方法计算出，再根据等差数列的通项公式可得答案. 【详解】设公差为 ， ，，， 由于  成等比数列，可得：， 即：， 即：， 解得： 或 ， 又因为，所以， 故. 故选：A 5. 已知某圆圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出线段的中垂线方程，联立直线方程，求出交点坐标即为圆心坐标，再求出圆的半径，即可得解. 【详解】因为该圆经过原点和点，所以圆心在线段的中垂线上， 又，的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 由，解得，所以圆心坐标为， 又圆的半径，所以该圆的方程为. 故选：D 6. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 7. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，求得，令，求得答案. 【详解】由题可得， ， 令，即，，解得， 又，所以满足的正整数的最大值为12. 故选：B. 8. 已知椭圆左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 二、多选题 9. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D. 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 10. 已知平面直角坐标系中两定点，，及一动点，且点满足，过点且不垂直于坐标轴的直线与动点的轨迹交于，两点，记，分别为，的面积，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹所围成的面积为 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设出点，根据条件求出其轨迹方程，即可判断其面积；对于B，因为点是直线与动点的轨迹的交点，即可判断；对于C，D. 设点N到直线的距离为，点到直线的距离分别为，根据面积关系和选项B即可判断. 【详解】对于A，设点，由得， 化简，得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为，故A错误； 对于B，因为点是直线与动点的轨迹的交点，所以, 即，故B正确； 对于C，由B正确，得,在中，点在边上，根据角平分线定理的逆定理，可知直线平分，所以，故C正确， 对于D，设点到直线的距离为，则. 设，则.该比值不唯一，故D错误. 故选：. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. D. 若，则内切圆的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C； 用三角形面积与内切圆公式计算选项D. 【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点第三象限，设，则. 选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以， 且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误； 选项B，由双曲线的定义可知， ，所以， 因为轴于点，则，且，当且仅当时取等， 所以，所以B正确； 选项C，因为，又渐近线的斜率为， 所以，所以，所以C正确； 选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积， 又，，则， 而，则， 所以内切圆的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，求导，结合两函数在处的切线重合，可得，求解即可. 【详解】设，得， 因为在处的切线重合， 则，解得，所以. 故答案为：. 13. 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】转为求抛物线上动点到及准线距离和的最值. 【详解】由题意知动点的轨迹为抛物线，C的焦点为， 设P到C的准线的距离为d，， 则， 当且仅当三点共线时等号成立（如图）， 故的最小值为． 故答案为：． 14. 直线被圆C：截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 四、解答题 15. 设正项数列的前项和为，，且当时，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）在（2）的条件下解不等式：． 【答案】（1） （2） （3）解集为 【解析】 【分析】（1）令、可分别求得、的值，由时，由，可得，两式作差结合等差数列的定义可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得出，利用错位相减法可求得； （3）由可得，设，分析数列的单调性，列举出数列前几项的值，即可得解. 【小问1详解】 正项数列的前项和为，，且当时，，即， 当时，，解得或（舍负）， 当时，，解得或（舍负）， 由时，由，可得， 两式相减可得， 化为， 由得，可得，且， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，则. 小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式相减可得， 化简得. 【小问3详解】 由，即，化为， 设，则， 所以，则数列为递减数列，而，，，， 可知，当且时，；当且时，. 则不等式的解集为． 16. 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与圆：交于两点. （1）当，且是的中点时，求的值以及圆的标准方程； （2）当时，若，求直线的方程. 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，可得，可得直线的斜率，再运用斜率公式即可解得，进而确定圆的标准方程； （2）运用垂径定理，可得圆心到直线的距离，再分直线的斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，设出直线，结合点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 可将圆方程整理为，可知圆的圆心为，半径. 由题可知，直线的斜率， 若是的中点时，则由垂径定理可知，， 则， 解得，故圆的标准方程为； 【小问2详解】 若，则圆，圆心，半径， 由垂径定理可知，圆心到弦所在直线的距离. ①若直线的斜率不存在，即，此时圆心到直线的距离，符合题意； ②若直线的斜率存在，可设直线，即， 圆心到直线的距离，得，解得， 则直线，化成一般式得：. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形． （1）证明：． （2）若，，，二面角为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定性质，结合菱形性质及直棱柱的结构特征推理得证. （2）连接，利用几何法作出二面角的平面角，求出该角的正切，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【小问1详解】 在直四棱柱中，连接，由四边形为菱形，得， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由，得菱形是正方形，而，则， 直四棱柱为正四棱柱，矩形是其对角面，连接， 则，在平面内过点作于，则， 过作交于，连接，由，得， 平面，则平面， 又平面，因此，是二面角的平面角，即， 在中，，则斜边， ，而，在中，， 所以. 18. 对于任意的正整数，记的最大奇数因子为，例如：，，.已知数列的前项和为，且，设，数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）证明：对一切的，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与的关系分析求解即可，注意分和两种情况； （2）根据题意结合等差数列求和公式可得，根据常数列分析求解即可； （3）由（2）分析可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得； 当时，可得， 则，整理， 则，即； 且符合上式，所以. 【小问2详解】 因为；当为奇数时，； 由（1）可知：， 可得， 即. 因为，则，所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 则. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的值，再根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）设出的方程，联立椭圆方程与直线的方程可得纵坐标的韦达定理形式，再表示出的坐标，根据向量数量积运算以及韦达定理进行化简，从而可确定出符合条件的点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题 1. 双曲线 渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若，其中，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处的导数为12，那么 A -6 B. 6 C. 12 D. -12 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 5. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（ ） A. B. C D. 6. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 10. 已知平面直角坐标系中两定点，，及一动点，且点满足，过点且不垂直于坐标轴的直线与动点的轨迹交于，两点，记，分别为，的面积，则下列结论正确的是（ ） A. 点轨迹所围成的面积为 B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. D. 若，则内切圆周长为 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则__________. 13. 的最小值为__________． 14. 直线被圆C：截得的弦长为__________. 四、解答题 15. 设正项数列的前项和为，，且当时，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）在（2）的条件下解不等式：． 16. 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与圆：交于两点. （1）当，且是的中点时，求的值以及圆的标准方程； （2）当时，若，求直线的方程. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形． （1）证明：． （2）若，，，二面角为，求． 18. 对于任意的正整数，记的最大奇数因子为，例如：，，.已知数列的前项和为，且，设，数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）证明：对一切的，都有. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $