精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

方城一高2025年秋期高二年级期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，利用向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 4. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解. 【详解】上半部分电路畅通的概率为：， 下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联， 畅通的概率为：. 故选:A． 5. 夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】先求出由到的最短路径的条数，然后求出由到且经过的最短路径的条数，最后相减即可. 【详解】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路， 所以由到不经过的最短路径有. 故选：D. 6. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 7. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项， 因为且，所以当时，分别为2，，，是整数， 即有理项有3项， 从11项中任取3项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布， 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 8. 定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出蒙日圆的方程，求出直线与蒙日圆的交点、的坐标，求出直线、的斜率，分析可知当点与点、重合时，为直角，即可得出的值. 【详解】根据蒙日圆定义，圆方程为， 因为直线与圆交于、两点，联立，可得或， 即点、， 当点与点或重合时，为直角，且，， 所以，直线的斜率为或. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共1 8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 10. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线定义得线段的中点到轴的距离是，即可判断A；设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理利用斜率关系判断B；利用距离公式计算判断C；结合向量的坐标运算求得，利用焦半径公式求解弦长即可判断D. 【详解】设，，如图， 对于A：由抛物线定义知，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 所以，， 由得， 所以， 因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得，即，又， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解. 【详解】设向量， ，，设与的夹角为，， ，. 故答案为：. 13. 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知圆心坐标及切点确定圆心在直线，又由圆过两点得圆心在直线上，从而得出圆心坐标和半径，得圆标准方程． 【详解】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为， 又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，， 所以圆方程为． 故答案为：． （北师大选择性必修一第169页B组第2题改编） 14. 学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的"．从这个回答分析，5人的名次排列情况共有______种． 【答案】16 【解析】 【分析】分冠军为甲、乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三名；冠军为戊，丁为第四名．共四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可． 【详解】由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，当冠军为甲、乙两人中的一人时，由于甲、乙两人名次相邻， 所以第二名一定是两人中的另一人，丁就只能是第三或第四名，丙和戊两个人名次就只能是剩余两个名次全排列，此时共有种情况； 当冠军为戊，丁为第二名时，将甲、乙捆绑在一起，内部排列共种，此时丙只能是第三或第五名，故共有种情况； 当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲、乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲、乙，所以此时共有种情况； 当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲、乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲、乙，所以此时共有种情况． 所以共有种情况． 故答案为：16. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【小问1详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 在二项式的展开式中 （1）若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项； （2）若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1），常数项为； （2），. 【解析】 【分析】（1）首先写出通项公式，根据展开式中存在常数项，得到，根据的取值范围，即可求解，再求常数项； （2）根据二项式系数的性质求，再代入不等式法求系数最大的项，即可求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式， 因展开式有常数项，所以，， 所以时，，满足条件，时，不是正整数，不满足条件， 所以，常数项为； 【小问2详解】 展开式的后三项的二项式系数和前三项的二项式系数和一样， 所以，所以，整理为：， 解得：，或（舍）， 设中第项的系数最大，第项为，所以系数为， 则，， 得，解得：，且， 所以或， 则系数最大的项为，. 17. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （1）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望． 【答案】(1)0.8；(2)分布列见解析，期望为2.4 【解析】 【分析】(1)因为每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，所以要求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率可以利用对立事件来解决，即1减去甲、乙都没购买的概率，即可得所求的结论． （2）由（1）可得每1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.8．所以对三位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数的分为0,1,2,3四种情况．利用几何概型可求得相应的概率，再利用数学期望的公式即可得结论． 【详解】（1）进入商场的1位顾客没有购买甲、也没有购买乙的概率为， 则进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）的可能取值有0、1、2、3 分布列为： 0 1 2 3 0008 0.096 0.384 0.512 期望为E()=3×0.8=2.4 18. 如图，在四棱锥中，满足底面． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，继而可证明平面,根据面面垂直的判定定理即可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面的夹角的余弦值，求得的长，继而求得相关点坐标，再利用三棱锥的等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 连接交于E点，由于在平面内，，所以, 则, 由于，故, ,又，故, 所以, 则，故, 又平面，平面，故， 平面，故平面, 平面，故平面平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，故， 又，故以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故, 设平面的法向量为，则, 即，令，则，即， 平面的法向量可取为， 因为平面与平面的夹角的余弦值为，故， 解得， 则,， 所以， 由于，故，故, 设B到平面的距离，故由得：， 解得. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025年秋期高二年级期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称点为，点关于平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 4. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 6. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共1 8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时， 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，若，则_________． 13. 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. （北师大选择性必修一第169页B组第2题改编） 14. 学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的"．从这个回答分析，5人的名次排列情况共有______种． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 16. 在二项式的展开式中 （1）若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项； （2）若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项． 17. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （1）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望． 18. 如图，在四棱锥中，满足底面． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求B到平面的距离． 19. 已知椭圆离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $