寒假培优——认识三角形和四边形（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学北师大版

寒假预习讲义：认识三角形和四边形 【知识梳理+例题讲解+提升练习】 知识点梳理 （一）三角形的认识 1.定义：由3条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。 2.各部分名称： （1）顶点：三角形有3个顶点（通常用字母A、B、C表示）； （2）边：连接顶点的线段，共3条边（可表示为AB、BC、AC）； （3）角：每两条边相交形成的角，共3个角（∠A、∠B、∠C）。 3.特性：三角形具有稳定性（生活应用：自行车车架、屋顶桁架、照相机三脚架等）。 4.三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 例如：有3根小棒，长度分别为2cm、3cm、5cm，2+3=5，不满足“两边之和大于第三边”，故不能围成三角形；若小棒长度为3cm、4cm、5cm，3+4>5，3+5>4，4+5>3，可围成三角形。 5.内角和：三角形的内角和是180°（验证方法：①撕拼法：将三角形三个角撕下来拼在一起，形成一个平角；②测量法：用量角器测量三个角的度数并相加）。 6.分类： （1）按角分： 锐角三角形：三个角都是锐角（每个角都小于90°）； 直角三角形：有一个角是直角（90°），另外两个角是锐角； 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°），另外两个角是锐角。 （2）按边分： 不等边三角形（普通三角形）：三条边都不相等； 等腰三角形：有两条边相等（相等的边叫“腰”，另一条边叫“底”，两腰的夹角叫“顶角”，腰与底的夹角叫“底角”，等腰三角形两底角相等）； 等边三角形（特殊的等腰三角形）：三条边都相等，三个角都是60°。 （二）四边形的认识 1.定义：由4条线段首尾相连围成的封闭图形叫做四边形。 2.常见四边形及特征： （1）平行四边形：两组对边分别平行且相等，对角相等（特性：易变形，生活应用：伸缩门、升降机）； （2）长方形：特殊的平行四边形，两组对边分别平行且相等，四个角都是直角； （3）正方形：特殊的长方形，四条边都相等，四个角都是直角，两组对边分别平行； （4）梯形：只有一组对边平行（平行的一组对边分别叫“上底”和“下底”，不平行的一组对边叫“腰”；两腰相等的梯形叫“等腰梯形”）。 3.四边形之间的关系： （1）正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形； （2）平行四边形与梯形的区别：平行四边形有两组对边平行，梯形只有一组对边平行。 例题讲解 【典型例题1】三角形的分类 题目：一个三角形的三个角分别是40°、60°、80°，三条边长度分别是5cm、6cm、7cm。 （1）按角分，这是一个什么三角形？ （2）按边分，这是一个什么三角形？ 解析： （1）按角分：三个角都是锐角（40°<90°，60°<90°，80°<90°），所以是锐角三角形。 （2）按边分：三条边长度都不相等（5cm≠6cm≠7cm），所以是不等边三角形。 【跟踪练习1】 一个三角形的两条边都是4cm，一个角是100°。 （1）按角分，这是一个什么三角形？ （2）按边分，这是一个什么三角形？ 【典型例题2】三角形三边关系的应用 题目：有三根小棒，长度分别是3cm、5cm、9cm，能围成三角形吗？为什么？ 解析： 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，需验证所有组合： 3+5=8（cm），8<9，不满足“两边之和大于第三边”，故不能围成三角形。 【跟踪练习2】 一个三角形的两条边分别是7cm和9cm，第三条边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米数） 【典型例题3】四边形的特征辨析 题目：下面哪个图形一定是平行四边形？（ ） A. 有一组对边平行的四边形 B. 对边相等的四边形 C. 两组对边分别平行的四边形 解析： A选项：只有一组对边平行的四边形是梯形，不是平行四边形； B选项：对边相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形对边也可能相等）； C选项：两组对边分别平行是平行四边形的定义，故C正确。 【跟踪练习3】 判断对错：“所有的长方形都是正方形”，并说明理由。 巩固练习 一、填空题 1．用10倍放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是　 　°。 2．下面设计中，　 　利用了三角形的稳定性，　 　利用了四边形的不稳定性。(填序号) 3．在等腰三角形中，当底角等于40°时，那么它的顶角是　 　°，按角来分，它属于　 　三角形。 4．如图，一个等腰三角形被挡住了两个角，那么这个三角形按角分类可能是　 　三角形，也有可能是　 　三角形。 5．有两个不同的三角形，其中一个是等腰三角形。曲妍测量出这两个三角形中四个内角的度数分别是70°，110°，20°和70°。根据以上信息补全下表。 三角形的类型 每个内角的度数 等腰三角形 　 　 　 　 　 　 　 　三角形 　 　 　 　 　 　 二、判断题 6．三角形不具稳定性。(　　) 7．有一组对边平行的四边形叫梯形。(　　) 8．平行四边形是轴对称图形。(　　) 9．平行四边形的两组对边都互相平行。(　　) 10．有一个锐角三角形，它的最大锐角是59°。(　　) 三、选择题 11．把一块长方形瓷砖切割一次，不可能得到(　　)个梯形。 A．0 B．1 C．2 D．3 12．同学们准备把一根12厘米长的小棒剪成三段，摆成三角形。第一刀剪在了3厘米处(如下图)，要想摆成三角形，第二刀可以剪在(　　)处。 A．① B．② C．③ D．④ 13．一个三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，它的第三条边长可能是(　　)。 A．3厘米 B．4厘米 C．7厘米 D．10厘米 14．下面不能围成三角形的一组线段是(　　)。(单位：cm) A．5、6、10 B．3、5、7 C．4、4、4 D．2、4、6 15．屋顶的屋架做成三角形(如下图)，是利用三角形(　　)的特征。 A．内角和是180° B．稳定性 C．容易变形 D．两边之和大于第三边 四、解决问题 16．如图所示，∠ ，求∠5 的度数。 17． 18．一个三角形的两条边分别长3厘米和7 厘米，另一个三角形的两条边分别长9厘米和17厘米。这两个三角形的第三条边一样长，请你写出它的长度，并写出你的思考过程。(边长为整厘米数) 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 （1）按角分：有一个角是100°（钝角），所以是钝角三角形。 （2）按边分：两条边都是4cm（相等），所以是等腰三角形。 依据：等腰三角形定义“有两条边相等的三角形”，钝角三角形定义“有一个角是钝角的三角形”。 【跟踪练习2答案及解析】 第三条边最长是15cm，最短是3cm。 解析：根据三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”： 最长边：7+9-1=15（cm）（第三边需小于7+9=16cm，取整厘米数最大为15cm）； 最短边：9-7+1=3（cm）（第三边需大于9-7=2cm，取整厘米数最小为3cm）。 【跟踪练习3答案及解析】 错。 理由：正方形是“四条边都相等且四个角都是直角的四边形”，而长方形是“对边相等且四个角都是直角的四边形”。长方形的四条边不一定都相等，所以长方形不一定是正方形，只有当长方形的四条边相等时才是正方形（即正方形是特殊的长方形）。 【巩固练习】 1．180 2．①⑤；②④ 3．100；钝角 4．锐角；直角 5．70°；70°；40°；钝角；110°；20°；50° 6．错误 7．错误 8．错误 9．正确 10．错误 11．D 12．C 13．C 14．D 15．B 16．解： 答：∠5 的度数是130°。 17．解：8-5＋1=4（分米） 8＋5-1=12（分米） 答：最短选4dm，最长选12dm。 18．解：3+7-1=9(厘米)，7-3+1=5(厘米) 第一个三角形的第三条边的长度范围是5~9厘米。 9+17-1=25(厘米)，17-9+1=9(厘米) 第二个三角形的第三条边的长度范围是9~25厘米。 因为这两个三角形的第三条边一样长，所以它的长度是9厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $