4.1因式分解寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.1因式分解设计寒假预习课时练 一、单选题 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义判断即可．掌握把一个多项式化成几个整式积的形式叫因式分解是解答本题的关键． 【详解】解：A. ，属于整式的乘法运算，故本选项错误；     B. ，不符合因式分解的定义，故本选项错误； C. ，符合因式分解的定义，故本选项正确；      D. ，因式分解的过程错误，故本选项错误． 故选：C． 2．若多项式可因式分解为，则的值为（　　） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】将计算后求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 3．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 4．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的含义，根据分解因式的概念求解即可．解答本题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式转化为整式乘积的形式． 【详解】解A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、的右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故C符合题意； D、的右边不是整式的积的形式，故D不符合题意； 故选C． 6．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 7．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 8．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 二、填空题 10．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 11．已知，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解的意义．先计算，再根据对应的项相同，可求出结果． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：0． 12．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 13．如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 14．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 15．已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 三、解答题 16．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 17．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 19．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 20．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 22．【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 试卷第2页，共14页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $4.1因式分解设计寒假预习课时练 一、单选题 1.下列从左到右的变形，是因式分解的是() A.(a+3)(a-3)=a2-9 B.x2+x-5=(x-2(x+3+1 C.a'b+ab2=ab(a+b) D.x2+1=x(x+1)2 2.若多项式x2+mx+n可因式分解为(x-2)(x+3),则w的值为() A.6 B.-6 C.-5 D.1 3.如果把二次三项式x2-cx-3因式分解得x2-cx-3=(x-1)(x+3),那么常数c的值是(） A.3 B.-3 C.2 D.-2 4.若多项式x2+mx-12因式分解的结果是(x+2)(x+n,则m、n的值分别为() A.m=-4,n=-6 B.m=-8,n=-6 C.m=8,n=6 D.m=4,n=6 5.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为() A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x 6.下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A.(a+3)(a-3)=a2-9 B.a2+a-4=aa+1-4 C.a2+1=(a+1)2 D.a2-4a+4=(a-2)2 7.已知多项式x+81b可以分解为4a2+9b2)(2a+3b)(3b-2a,则x的值是() A.16a B.-16a C.Ad D.-4a2 8.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是() A.x2-4x+4=x(x-4)+4 B.(x+1)2=x2+2x-1 C.2x2-2=2(x+1(x-1 D.x2-1=(x-1)2 9.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是() A.(x+2y)(x-2y)=x2-4y2 B.x2+y2=(x+y)2 1/4 C.x2-2xy+y2=(x-y)2 D.4=到 二、填空题 10.把一个多项式化成几个整式的的形式，这种变形叫做因式分解.整式乘法是“积化和差”，整式乘法与 因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形.如：2(x+3)=2x+6属于一 11.已知x2+ax-2=(x-2)(x+b),那么a+b的值为__ 12.若二次三项式x2-x-6可分解为x-3(x+n),则m的值为一。 13.如果x2+2xy+ay2+b=(x+y+3)(x+y-3),那么a=,b= 14.将多项式3x2-mx+6进行因式分解得到(x-3)(3x-m)，则m+n的值为一 15.已知多项式x+mx+n能分解为x2+px+q)(x2+2x-3),则p=一，9= 三、解答题 16.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)(x+10(x-2)=x2-x-2: (2)x2+2x+3=(x+1)2+2: (3)3xy2-9xy+6x=3x(y-1)y-2); (4)4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2 17.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)a2-4=(a+2)(a-2): (3)x2-3x+2=x(x-3)+2. 18.若关于x的二次三项式3x2+mx-n分解因式的结果为(3x+2)x-1),求m+n的值. 19.二次三项式a2+4a+b可分解为两个因式的积，且其中一个因式为(a+3).求另一个因式及b的值. 20.已知x2+mx-n可以因式分解为x+7)(x-3),求(5m-n)25的值. 21.仔细阅读下面例题，解答问题： 2/4 例题：己知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+m),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n n+3=4 m=3n 解得：n=-7,m=-21.另一个因式为(x-7),m的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若x2+bx+c=(x+2)(x-3),则bc=; (2)已知二次三项式x2-5x+p有一个因式是(x-1),求另一个因式以及p的值. (3)已知二次三项式8x2-14x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值. 22.【数学活动】 2.计算： (1)x+2)(x+3;(2)x-4)x+1: (3)(y+4)(y-2);(4)(y-5)(y-3). 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： (x+p)(x+q)=()2+()x+(）. 3 qx px pq 李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同 学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律 请你试着回答下面的问题： (1)计算：(x+1(x+2)=；(x-3)(x+4)= ；(x+p(x+9= 【方法感悟】 (2)若(x-1)(x+m=x2-x-5,求m+n的值. 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出m+n的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号 3/4 左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m 与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解x=1入手，会得到一个关于的方程，通过计算，也能够 求出m+n的值。 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程. 【学以致用】 (3)若x3+ax2+bx-2可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是x-1,mx+m,求第三个 因式 23.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 m=3n 解得：n=-7,m=-21. :另一个因式为(x-7),m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值。 (2)已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是(2x+a),a是正整数，求另一个因式以及a的值. 4/4