精品解析：北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题

2025-2026学年度第一学期高二年级 数学学科期末练习 出题人高二数学备课组，审题人员二数学备课组，审核人金永涛，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量(1，1，2)，(x，2，y)，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 4. 已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 6. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A. 不存在，使得的倾斜角为90° B. 对任意的，与都有公共点 C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直 8. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答） 12. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______． 13. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 14. 若命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题，则实数的一个取值为_____． 15. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 17. 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点． （1）求证：； （2）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点． （1）求证：l与C必有两交点； （2）设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且． （Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 20. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 21. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级 数学学科期末练习 出题人高二数学备课组，审题人员二数学备课组，审核人金永涛，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得. 【详解】设直线倾斜角为， A选项， 直线，斜率，即倾斜角为钝角； B选项， 直线，斜率，倾斜角为，是锐角； C选项， 直线，斜率，即倾斜角为，不是锐角； C选项， 直线，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角. 故选：B. 2. 已知向量(1，1，2)，(x，2，y)，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以向量平行的充要条件代入，解之即可解决. 【详解】由，(1，1，2)，(x，2，y)， 可得解之得 故 故选：D 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列， 所以，所以， 则. 故选：B. 4. 已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面角与方向向量、平面法向量夹角的关系即可求解. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 故选：A. 5. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 6. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性 【详解】当时，不成等比数列，所以不是充分条件； 当成等比数列时，则，所以是必要条件. 综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件 故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 7. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A. 不存在，使得的倾斜角为90° B. 对任意的，与都有公共点 C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】给出特殊值可以确定选项AC的正误，由直线恒过定点可判断选项B的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程可确定选项D的正误. 【详解】逐一考查所给的选项： A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B直线过定点，直线过定点，故B是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项C错误； D.两直线垂直，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D正确． 故选：AC. 【点睛】本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出截面图，求出圆柱的底面半径，根据对称得出答案. 【详解】作出截面图，如图，从缺口向桶边作垂线，恰好平分； 因为桶倾斜与底面成，所以; 因为，所以; 因为缺口以上的圆柱部分体积为; 所以多盛的水的体积为. 故选：B. 9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率. 【详解】椭圆：中，且 则，椭圆长轴长为 则椭圆M的离心率 直线OP斜率为 又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线， 双曲线：的渐近线方程为 故，即， 则双曲线的实半轴长为 则双曲线N的离心率 则 故选：A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答） 【答案】 ①. 16 ②. 255 【解析】 【分析】利用递推式推导出数列为等比数列，利用通项公式和求和公式，代入即可求解, 属于基础题. 【详解】由知是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前项和公式知 【点睛】本题考查求通项和求前n项和的问题，属于基础题. 12. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解． 【详解】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程． 因为是C上一点，，，所以，解得． 故答案为：2. 13. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由焦点和已知方程，可求出，从而可得双曲线的方程，进而可求得双曲线的渐近线方程 【详解】因为双曲线的一个焦点为， 所以，，则双曲线方程为， 由双曲线焦点在轴上可得渐近线方程为， 故答案为： 14. 若命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题，则实数的一个取值为_____． 【答案】5（答案不唯一，满足或的值均可） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用曲线及正方形的对称性可得直线与曲线交于两点，由此求出的范围即可. 【详解】当时，曲线是椭圆或双曲线，其对称轴为坐标轴，对称中心为原点， 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，而正方形的四个顶点在曲线上， 此时正方形的四个顶点关于轴对称，也关于轴对称，其对角线所在直线必与曲线相交， 因此方程，即有解，则，解得或，此时或且， 当时，曲线，即是圆，而圆互相垂直的两条直径的端点构成正方形，则 所以实数的取值范围为或，取的一个值5. 故答案为：5 15. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项； （2）运用等差数列的求和公式，再由二次不等式的解法，即可得到所求最小值. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即 ， 解得，或（舍去）， 所以的通项公式为； 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以， 依题意有，解得， 使成立的的最小值为8. 17. 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点． （1）求证：； （2）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法从而求证； （2）利用空间向量法求解异面直线夹角. 【小问1详解】 证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 因为，所以，， ，， 所以，所以. 【小问2详解】 是棱的中点，故， 则， 设异面直线与所成角的大小为， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点． （1）求证：l与C必有两交点； （2）设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx+1，可得2x2﹣kx﹣1＝0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点； （2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值． 【详解】（1）证明：联立抛物线C：和直线l：,可得, ,与C必有两交点； （2）解：设,,则 因为,,代入,得 又由韦达定理得,,代入得． 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且． （Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且. 【解析】 【分析】（Ⅰ）过点作，交于，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （Ⅱ）求二面角，由于图中已知两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （Ⅲ）假设存在点，设，由求得即可． 【详解】（Ⅰ）过点作，交于，连接， 因为，，所以． 又，，所以． 所以为平行四边形, 所以． 又平面，平面，所以平面． （Ⅱ）因为梯形中，，，所以． 因为平面，所以, 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, 所以． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为, 因为 所以，即，取得到， 因为，所以，即，令得， 所以, 因为二面角为锐角，所以二面角为； （Ⅲ）假设存在点，设，其中， 所以， 所以，解得， 所以存在点，且． 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 20. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程； （2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线经过定点，从而求出的周长为定值． 【小问1详解】 ，， 椭圆经过点，， ，，椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：证明：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 21. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 【解析】 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）根据向量的新定义，,,且有，从而. （3）平面方程，可设法向量，根据新定义求出最小值. 【小问1详解】 由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ， 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小. 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定且共线且平面时取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $