北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题

2025-2026学年度第一学期高二年级 数学学科期末练习 出题人高二数学备课组，审题人员二数学备课组，审核人金永涛，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量(1，1，2)，(x，2，y)，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 4. 已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 6. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A. 不存在，使得的倾斜角为90° B. 对任意的，与都有公共点 C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直 8. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答） 12. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______． 13. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 14. 若命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题，则实数的一个取值为_____． 15. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 17. 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点． （1）求证：； （2）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点． （1）求证：l与C必有两交点； （2）设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且． （Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 20. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 21. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 2025-2026学年度第一学期高二年级 数学学科期末练习 出题人高二数学备课组，审题人员二数学备课组，审核人金永涛，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】AC 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 ①. 16 ②. 255 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】5（答案不唯一，满足或的值均可） 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1） （2）8 【17题答案】 【答案】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 因为，所以，， ，， 所以，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1）联立抛物线C：和直线l：,可得, ,与C必有两交点； （2） 【19题答案】 【答案】（Ⅰ）证明：过点作，交于，连接， AI 因为，，所以． 又，，所以． 所以为平行四边形, 所以． 又平面，平面，所以平面． （Ⅱ）； （Ⅲ）存在，且. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 解法一：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 【21题答案】 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $