广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年第一学期期末学业质量监测试卷 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 题号 2 3 4 5 7 8 答案 A D D B A B 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分） 题号 9 10 11 12 13 答案 5 16 1 4 3-5 9 (说明：第10题答案不唯一，a值大于0即可）) 三、解答题（本题共有7小题，共61分） 14.(本题共5分) 解法一：原方程可变形为(x-1(x+3)=0, .3 分 x1=0或X3=0, 所以x=1,×2=-3。 5 分 解法二：配方得(x+)2=4, 3 分 X41=2或X41=-2, 所以x=1,×2=-3。 .5 分 解法三：这里a=1,b=2,c=-3, :b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0, x=-2±6=-2±4 2 2， 3 分 即x=1,x,=-3。 5分 15.(本题共7分) (1) 3 2 分 (2）解法一： (列表法)由题意可列表格如下： 小亮 A B 小明 A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 5分 总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区 域的结果有3种：A,A),(B,B,(C,C,所以P(在同一区域)=3=1。 9 0 .7分 解法二： (树状图法) 由题意可画树状图如下： 小明 小亮 所有可能出现的结果 (A,A) (A, B) (A, A (B, A) 开始 B (B, B) A e 5分 总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区 域的结果有3种：(A,A),(B,B),(C,C,所以P(在同一区域)=3= 9 .7分 16.(本题共8分) (1)1.5; 2 分 (2)解：设礼盒的长为xdm, 则宽为12-4-2x)dm,即(4-x)dm, 3分 依题意得x《4-x)=3, .5分 解得x=3,X2=1, .6 分 因为24-x,所以22， 所以X3,所以4-x=1。 7 分 答：这块糯米糍礼盒的长和宽各是3dm,1dm。.8分 17.（本题共9分) (1)如图，四边形ABCD即为所作。 ….4 分 解法一：如图17-1，以点D为圆心，AB的长为半径作圆弧交1，于点C, 连接点A,B,C,D或者如图17-2，以点B为圆心，AD的长 为半径作圆弧交，于点C,连接点A,B,C,D: y 12 B D B D 3 C C 图17-1 图17-2 解法二：如图17-3，作BD的垂直平分线交，于点M,作射线AM交于点 C,连接点A,B,C,D B 图17-3X 解法三：如图17-4，作LBDC-LABD,射线DC交1，于点C,连接点A, B, C,D,或者如图17-5，作LBD=LADB,射线BC交1，于点C, 连接点A,B,C,D。 11 A 1 B 12 B C 图17-4 图17-5 (说明：作法不唯一，作出点C给2分，连接点A,B,C,D给1分，标注点C 和作图下结论的文字说明得1分，共4分，其余作法参照此标准的情给分) (2）证明： .CE=OD,CE∥OD, :四边形OCED为平行四边形。 .5分 由（1)可知四边形ABCD为平行四边形， AB=AD, .四边形ABCD为菱形。 .6分 .BD⊥AC, .LD0C-90°。 分 .￡OCED为矩形。 .9分 (说明：其他方法参照此标准的情给分) 18. (本题共10分) (1)由题意xy=mn,代入m=60,n=5得x·y=300,.2 分 所以浅于的函数解析式为y=30 .3 分 (2) ①； .6分 (3)记，为秤纽B与秤盘之间的水平距离，yz与yza为磨损前后平衡时秤纽 B与秤砣的水平距离。 依题意可得：2-102，za 100ng .7分 X安 所以乙组的误差为100n_100n x .8分 :0<强<×，由反比例函数y=1 ×在第一象限的增减性， 100100 可得经 ， :100100 >00 .9 x段X 分 ne >n n,20_100)>n, 100_100), :100n_100n2>100D_100n x田 X 区 即乙组的误差更大。 .10 分 (说明：其他方法参照此标准的情给分) 19.(本题共10分) (1)16: .3分 (2) 如图，正方形HMNG的另一个顶点H即为所作。 .6分 图19-1至19-6展示了6种画法。 图19-1 图19-2 图19-3 图19-4 图19-5 图19-6 (说明：其他方法参照此标准的情给分) (3)解法一：如图19-7，过点A作N⊥BC于点/，交HG于点J, ·LANB-90°， 由题意可知AW-8,BC=12, 'HG∥BC, ∴LAUh∠ANB=0°， LAHG=LABC,∠AGH=∠ACB, △AHG△ABC,7分 6=U BC A 8分 设边长为x, 则HG==x,AU上8一x, :8-xx .9分 图19-7 812 解得x= ).10分 5 解法二：如图19-7，过点A作AI LBC于点/，交HG于点J, 由题意可知AW8,BC=12, .HG∥BC, .∠AHG=LABC, ∴.△HG-△ABC,△AH~△ABI, .7分 :H6+HM=B别+AH =1。 8分 BC Al ABAB 设边长为x, 则HG=HM仁X, :.x+X=1, .9 812 分 解得x=24 .10 分 解法三：如图19-8，延长CH交格点于1，取AB上格点J,连接U, 延长MH交于K。 :U∥BC, ∴.∠HU=∠HBC ∴.△HUK△HBC, 7分 :儿=K .8分 BC HM 设边长为x, 则HM=X,HK=6一X, :6-×=3」 .9分 x12 图19-8 解得x=2。 ….10分 解法四：如图19-9，由网格知tan∠HBC=2,tanC-1, 设边长为2x, 则HM=GN5MN=2X。---.7分 在Rt△HBM和Rt△GNC中， tan L HBM=HM=2,tan L GCN=GN BM B作X,CN=2X,.8分 .BC=12 .X+2X+2x-12, 9分 :MN=2x=2兰。 24 ..10分 (说明：其他方法参照此标准的情给分) 图19-9 20.（本题共12分) (I):四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形， ∴.AC平分∠BAD,∠ADB=∠ABC, .1 分 ∴.∠BAP=∠DAP。 …2分 ∴.∠BCP=∠APD。 3分 .∠APD=∠BPC .∠BCP=∠BPC。 分 (2)'AB2=AD·AE,∠BAD=∠EAB, ∴.△ABD△AEB, .5 分 .∠E=∠ABD,∠ADB=∠ABC。 .6 分 .∠BCP=∠BPC, ∴.∠ABD+∠BAC=∠E+∠CAD, .7 分 即∠BAC=∠CAD。 .8分 “.四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形。 .9 分 (3)由题意，：四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形，AB>AD, ∴∠BAP=∠DAP,∠ADB∠ABC。 ∴.∠BCP=LAPD L APD=L BPC, ∴.∠BPC=LBCP, .BC=BP始终成立。 当△ADP是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当DA=DP时， ∠DAP=LDPA, 而LDPA>∠BAP, ·矛盾，此情形不成立。 .10分 ②当AP=AD时，如图20-1， 此时LADP=LAPD, ∴.∠ABC=∠BCA. ∴AB=AC=4,△ABC-△BPC-△APD, CP-2,L CBP=L BAP,AP=PD AB BP BP PC BC P化 .BC=22 D :∠APB=LDPC, .△APB-△DPC。 ∠BAP=LCDP, .LCBP=L CDP, .CD=BC=2N2。 .图20.h1 分 ③当PA=PD时，如图20-2， △BCA△DPA, ·AB=AC AD AP 2, :.PC=PA, ∠ADC-90°， ∴.AD⊥CD。 过C作CF⊥AB, B .∠BAC=DAC ∴.CF=CD。 过B作BE⊥CP, BC=BP, ∴CE=PE。 在Rt△BCE中，设CE=X,则BC=4x, :BE=5x, 在Rt△BAE中，BE'+AE2=AB2, 图20-2 即15X+92=16, 解得x6 3 'BE·AC=CFAB, .CF=h5 x4x_2 W15 4 3 ·CD=25 3。 ..12分 综上所述，D的长为2反或2 3。 (说明：其他方法参照此标准的情给分)保密★启用前 龙华区中小学2025一2026学年第一学期期末学业质量监测试卷 九年级数学 说明： 1.本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟。 2、答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域。 3.考生必须在答题卡上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答策一律无效。 4.答题卡必须保持清洁，不能折叠。考试结束后，将答題卡交回。 第一部分 (选择题，共24分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个 是正确的) 1.一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为 A.=1,x2=3 B.x1=-1,x2=-3 C.x=-1,x2=3 D.x1=1,x2=-3 2.如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子。从早晨 到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是 A.一直变短 B.短一长一短 C.一直变长 D.长一短一长 第2题图 3.为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如 下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为 A.0.87 B.0.90 C.0.91 D.0.93 4.劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他 们已在点B,C,D,E,G处打孔。经测量，BD=24cm, CE=30cm,EG=50cm,若要使得安装的层板互相平 行，即BCIDEIIFG,则孔F应打在离孔D多远处？ A.20 cm B.30cm C.40cm D.50 cm 第4题图 九年级数学试卷第1页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 5.如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长 均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体 积为 A.15 B.27 主视图 左视图 俯视图 C.48 D.63 第5题 6.在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间1（单 位：h)是充电功率P(单位：kW)的反比例函数，其图象如图所示。若该新能源电动 车每次充满电需要2~3h,则充电时的充电功率范围是 A.20kW以内 B.20~30kW C.30~60kW D.60kW以上 时间th个 60充电功率PkW 第6题国 第8题图 7.经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元， 平均每天可以多卖出10件。该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250 元？设每件小商品降价x元，则可列方程 A.(30-x)(200+10x)=6250 B.(30+x)(200+10x)=6250 C.(30+x)(200-10x)=6250 D.(30-x)(200-10x)=6250 8.活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍AB,CD垂直摆放： ②将水平木棍CD的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合， 树冠E与点A重合； ③测量此时树EF与人HK之间的水平距离FK。 若测得两根小木棍AB与CD的长度比为2：3，FK的长度为6m,则树EF的高度为 A.3m B.4m C.6m D.9m 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9.已知m=召，则m+”的值为▲。 10.若关于x的方程x2=a有两个不相等的实数根，则a的值可以为▲。 。如图，AD,BE交于点C,LA=ZE,若S-则Ac三 SAEDC D 第11题图 第12题图 第13题图 九年级数学试卷第2页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 12.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,OE⊥CD于E,若AB=6,AC=10,则 OE的长为▲。 13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，E是边AB上一点，连接DE,将△ADE沿DE所在 直线折叠，得到△FDE。若点F恰好在边BC上，且BE=BF,则BE的长为▲。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.（5分)解方程：x2+2x-3=0。 15.（7分)第十五届全运会排球项目女子18岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行， 小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油。比赛现场的观赛区分为A、B、C三个 区域，预约后系统将随机分配观赛区域。 (1)小明预约后分配在A区域的概率为▲； (2)求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率。 16.(8分)每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒。如图，店主用一 根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”。已知盒高1dm,丝带 总长度为12dm(打结处彩带长忽略不计)。 (1)当长为2.5dm时，宽为▲dm: (2)若礼盒的底面面积是3d,则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少？ 长 宽 第16题图 17.（9分)如图17-1，在同一平面内有三条等距的平行线1，，，4，点A在直线l上，点 B,D在直线I2上。 D C 图17-1 图17-2 (1)在直线3上求作一点C,顺次连接点A,B,C,D,使得四边形ABCD为平行四边 形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1)的条件下，若AB=AD,如图17-2所示，连接AC交直线l,于点O,在直 线l,上截取CE=OD,连接DE,求证：四边形OCED是矩形。 九年级数学试卷第3页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.（10分)综合与实践 素材：图18-1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧。 图18-2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得x·y=m·n, 其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量， n为秤纽与秤盘之间的水平距离。 秤纽 抽象 B 秤纽 秤砣质量x 秤盘 秤盘与物体 的总质量m 图18-1 图18-2 根据以上素材解决如下问题： (1)当m=60g,n=5cm时，求y(单位：cm)关于x（单位：g)的函数解析式： (2)当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重。提起秤 Ay/cm 纽A,根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序 数对(x,y),绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B,重复 上述操作。如图18-3，将两个函数图象绘制在同一平面直角 ② x/g 坐标系中，则▲（填序号）是提起秤纽B时得到的图象： 图18-3 (3)甲、乙小组分别提起秤纽A,B,选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重。 当m=100g时，哪个小组得到的y值误差更大？ 甲组的误差计算如下： 记”为秤纽A与秤盘之间的水平距离，x损为秤砣磨损后的质量，y仰与y甲损为磨损前 后秤纽与秤陀的水平距离，依题意可得： 为-100%，年=100，所以甲组的误差为100_10 x损 X损 请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论。 九年级数学试卷第4页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 19.(10分) 【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形。 【实验原理】如图19-1，在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD=kOA, OE=kOB,OF=kOC,连接D,E,F,则△DEF与△ABC位似，相似比为k。 【实验初探】 (1)如图19-2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋O2的一端2处，另一端0固定在图 形外。拉动铅笔，使标记好的OQ中点P沿图形的边缘运动。当点P沿周长为 8cm的图形运动一周时，笔尖g点经过的路径长为▲cm。 图19-1 图19-2 图19-3 【实验制作】 (2)如图19-3，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺 可作出△ABC的内接正方形HMNG,使得点H在AB上，点M,N在BC上，点G 在AC上。小明取一个格点正方形DEFP,D在AB上，E,F在BC上，以点B为 位似中心，连接BP并延长交AC于点G,点G即为所求作正方形HMNG的一个 顶点。 ①请以点C为位似中心，求作出正方形HMNG的另一个顶点H: ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形HMNG的边长。 九年级数学试卷第5页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 20.(12分) 【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点 与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形。在这个四边形中，若该角平 分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的 两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点。 例：如图20-1，AP为△ABD的角平分线，点C是AP延长线上一点，连接CB, CD,若∠ABC=∠ADB,则四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形。 【性质】已知：如图20-1，四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形。 求证：∠BCP=∠BPC: C 图20-1 【判定】如图20-2，在△ABE中，点D,C分别在边AE,BE上，AC与BD相交于 点P,若∠BCP=∠BPC,AB2=AD·AE。求证：四边形ABCD是以点A为相 似顶点的自相似四边形： 图20-2 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AC与BD 相交于点P。当△ADP是等腰三角形时，求CD的长。 九年级数学试卷第6页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App