精品解析：四川省自贡市2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 -

2025-2026学年八年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择使用铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结果后，将答题卡收回． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列新能源汽车标志图案，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，由此确定x的取值范围，再判断选项． 【详解】解：设第三根木棒长为， ∵已知两边长分别为和， ∴由三角形三边关系，得，即， 只有满足， 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：A、， 错误． B、， 正确． C、， 错误． D、，错误． 故选B． 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如果把分式中的都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小为原来的十分之一 C. 不变 D. 扩大100倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，当分子和分母同乘或同除相同非零数时，分式的值不变． ，将x和y都扩大10倍后代入分式，化简后得到原分式，因此值不变． 【详解】解：∵和都扩大10倍， ∴新分式为， ∴ 分式的值不变． 故选C． 6. 如图，在中，于，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据同角的余角相等，可得，进而可得，． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故选：B． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 8. 重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解M，N的坐标，再求出矩形，的面积，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图，延长交于点G，得到矩形和，M，N分别是矩形，的对角线的交点． ，， ，， ，，，， M，N分别是矩形，的对角线的交点， ，，即，， ，， 此“”形总面积， 此“”形的重心的横坐标为， 纵坐标为， 此“”形的重心的坐标为， 故选：D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______ ． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分母不等于零进行作答. 【详解】由题知，，解得.所以，答案为. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是本题解题关键. 10. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 11. 已知关于的代数式有，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，通过展开左边代数式并比较等式两边对应项的系数，建立关于和的方程，求解得到和的值，进而计算的值． 【详解】解：展开左边代数式：=， 与右边代数式比较，得： 常数项：，解得； 一次项系数：，代入，得， 因此，， 故答案为：3． 12. 如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，平分交于点，点为上一点，且，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由角平分线的性质定理得，再依次证明，，根据对应边相等，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，点为边上一动点，则的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求线段的最值，含30度角的直角三角形的性质，将转化为是解题的关键． 作点C关于的对称点，连接，作于点H，由轴对称得，，，由含30度角的直角三角形的性质，得，进而可得，可知当点，D，H三点共线时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，作于点H， ， ， 又， ， 点C和点关于对称， ，，， ， 当点，D，H三点共线时，取最小值，如图，的最小值为的长度， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为9， 故答案为：9． 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式展开整式，然后合并同类项即可． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 如图，是中边的中点，是上一点，，且与延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，则可利用证明，由全等三角形对应边相等即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是中边的中点， ∴， ∴， ∴． 18. 八年级书法兴趣小组到文具店分别花费了600元和480元购买相同数量的两种型号的毛笔，已知购买一支型毛笔的价格比购买一支型毛笔的价格多3元，这家文具店型毛笔的单价分别是多少？ 【答案】A型毛笔单价为15元，B型毛笔单价为12元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，通过设B型毛笔单价为未知数，根据购买数量相同建立分式方程，求解得到两种毛笔的单价 【详解】解：设B型毛笔的单价为x元，则A型毛笔的单价为元． 根据题意可知：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 所以A型毛笔单价为元， 答：A型毛笔单价为15元，B型毛笔单价为12元． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，关键是先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，最后代入数值计算． 【详解】解：原式 ． 当时，． 四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请画出关于轴对称的；并写出的坐标． （2）若点为轴上一点，连接，当最小时，请在图中画出点的位置． 【答案】（1）见详解； （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，最短路径问题，熟练掌握轴对称作图是解题的关键； （1）根据轴对称的定义直接画图，写出坐标即可； （2）作点C关于轴的对称点，连接与交x轴交于一点，即为P点． 【小问1详解】 解：如下图所示： ∴ 【小问2详解】 解：如下图：点P即所求： 21. 已知正整数，求证：能被24整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】证明： ． ∵为正整数， ∴和是连续的正整数， ∴和中一定有一个是偶数， ∴一定是24的倍数， ∴能被24整除． 22. 如图，在中，，点为上一点，延长到，使，连接交于为上一点，连接． （1）求证：． （2）若，求证． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作交于点G，由平行线的性质得，由得，等量代换后证明，结合证明，进而证明，即可得出； （2）由得，结合可得，即，根据等腰三角形三线合一，可证． 【小问1详解】 证明：如图，作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）知 ， ， ， ， ，即， ， 是的中线， 由（1）知， ． 五、（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题： （1）如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________； （2）若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． （3）如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用两种不同的方法表示出图1的面积即可； （2）先计算出，再根据求解； （3）设正方形和正方形的边长分别为a，b，，则，，利用完全平方公式变形求出，，将与联立求出a，b，即可求解． 【小问1详解】 解：图1的面积可以表示为：，也可以表示为：， 可以推导出的乘法公式是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， 则， ， ， 即 【小问3详解】 解：设正方形和正方形的边长分别为a，b，， 由题意知，， ， ， ，负值舍去， 联立， 解得，， ． 24. 在平面直角坐标系中，点，，且，满足．点为轴上一点，连接，在右侧作，且，连接与轴交于点． （1）若的面积为，求点的坐标； （2）如图，当点在线段上时，求证：； （3）当时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）或 （2）证明见详解 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性、因式分解、全等三角形的性质与判定，进行分类讨论是解题的关键． （1）首先根据求解点，的坐标，再利用的面积为求解的长度即可求解点的坐标； （2）首先构造轴，进而可以利用得到进而可以证明，从而得到； （3）首先设点，对点在轴的位置进行讨论，针对不同的情况利用表示和的长度，进而表示出三角形的面积并利用求解出对应情况的的值，进而求解的长度即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵满足， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为10， ∴，解得：， ∴或； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点， ∴， 由（2）得：，，， ∴， ①如图，当点在负半轴时，此时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴此情况不存在； ②如图，当点C在正半轴时，此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和， ， ∴， ∴，， ∴和， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴此时, ∴． 如图，当点在正半轴时，此时， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 此时，，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， 此时， ． 综上，点的坐标为或． 答：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择使用铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结果后，将答题卡收回． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列新能源汽车标志图案，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有长度分别为和两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒 A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C D. 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小为原来的十分之一 C. 不变 D. 扩大100倍 6. 如图，在中，于，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______ ． 10. 分解因式：_________． 11. 已知关于的代数式有，则___________． 12. 如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 13. 如图，在中，平分交于点，点上一点，且，则___________． 14. 如图，在中，，点为边上一动点，则的最小值为___________． 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，是中边的中点，是上一点，，且与延长线交于点．求证：． 18. 八年级书法兴趣小组到文具店分别花费了600元和480元购买相同数量的两种型号的毛笔，已知购买一支型毛笔的价格比购买一支型毛笔的价格多3元，这家文具店型毛笔的单价分别是多少？ 19. 先化简，再求值：，其中． 四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请画出关于轴对称的；并写出的坐标． （2）若点为轴上一点，连接，当最小时，请在图中画出点的位置． 21. 已知为正整数，求证：能被24整除． 22. 如图，在中，，点为上一点，延长到，使，连接交于为上一点，连接． （1）求证：． （2）若，求证． 五、（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题： （1）如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________； （2）若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． （3）如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，点，，且，满足．点为轴上一点，连接，在右侧作，且，连接与轴交于点． （1）若的面积为，求点的坐标； （2）如图，当点在线段上时，求证：； （3）当时，请直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $