2.4一元一次不等式组 寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2.4一元一次不等式组寒假预习课时练 一、单选题 1．一元一次不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组．掌握求不等式组的方法和步骤是解题关键． 分别解出不等式组中的每一个不等式，再按照求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为． 故选D． 2．不等式组在数轴上表示为：，这个不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的解集，根据数轴表示得到两个解集的公共部分解答即可. 【详解】解：不等式组的解集为， 故选：D. 3．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 4．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得：， 故选：B． 5．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．若关于的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，解不等式组，先求出，由于解为整数，则，，2，，4，，则，0，3，，5，，根据不等式组无解得， 最后得出非负整数为，0，3，进而可得出答案 【详解】解：， 去分母得：， ， 由于解为整数，则，，2，，4，， 则，0，3，，5，， 由于无解， 则， 由于，即， 则，0，3，，， ∴非负整数为，0，3， 故选：A 7．关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数字可知该不等式的解集为，解不等式，得，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为， 解不等式，得， 则有， 解得， ∴的值是． 故选：D． 8．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 9．、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四元一次不等式组的应用、不等式的性质，根据示意图列出四元一次不等式组，并熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据人在跷跷板上的示意图，列出四元一次不等式组，再由不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 由③得：④， 把④代入②中得：， ∴， ∴， ∴， 由③得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．已知，，若规定，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先由时，，解得x的范围，从而将原不等式化为关于x的不等式组，再根据一次函数的性质可得y的最小值． 【详解】解：∵，， ∴当时，， 解得：． ∴时，；当，． ∴， 可化为：， ∵，其函数值随自变量的增大而增大，故其在时取得最小值，即； ，其函数值随自变量的增大而减小，故． ∴y的最小值是1． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据不等式的性质解不等式、一次函数的性质在最值问题中的应用，熟练掌握不等式的性质及一次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 11．一元一次不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 12．若关于的不等式组恰有三个整数解，关于的方程组的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】略 13．某学校组织名师生进行长途考察活动，带有行李件，计划租用甲、乙两种型号的汽车辆．经了解，甲型车每辆最多能载人和件行李，乙型车每辆最多能载人和件行李，则学校有 种租车方案． 【答案】/四 【分析】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆，根据甲乙两种型号的车装载的师生数量应大于等于，装载的行李数量应大于等于，可得到关于的一元一次不等式组． 【详解】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 根据题意，得 解得 ． 因为为正整数，所以或或或． 所以有四种租车方案，分别为：租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组与实际问题，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组． 14．某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是 ． 【答案】51或59 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数． 【详解】解：设共分为x组， 由题意得， 解得， x为整数， x的值为6或7， 当时，该数学社团的人数是：， 当时，该数学社团的人数是：， 故答案为：51或59． 15．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，三角形三边关系，解题的关键在于能够准确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后根据解集求出其最大整数解与最小整数解，根据三边关系求出范围，再结合的周长是奇数求解即可． 【详解】解：由， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值3， 故答案为：3． 三、解答题 17．解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)3，4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解． 【详解】（1）解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为： 该不等式组的解集在数轴上表示如图：      （2）故这个不等式组的所有整数解为：3，4． 18．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，且是整数 (2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元 【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围； （2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 由题意， 解得：， 自变量的取值范围是且是整数； （2）由（1）， ， 随的增大而减小， 又且是整数， 当时，有最大值，最大值是（元）， 生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法． 19．又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽．端午节前夕，某超市打算用不超过3000元购买A，B两种品牌的粽子50盒，其中A种品牌粽子的单价是56元，B种品牌粽子的单价是64元，且购买B种品牌的粽子不少于23盒，请你求出所有购买方案． 【答案】有三种购买方案，方案一：种品牌的粽子27盒，种品牌的粽子23盒；方案二：种品牌的粽子26盒，种品牌的粽子24盒；方案三：种品牌的粽子25盒，种品牌的粽子25盒 【分析】设此次购买品牌粽子盒，则购买品牌粽子盒，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设此次购买品牌粽子盒，则购买品牌粽子盒． 由题意得， 解得． 是正整数， 可取23或24或25， 则或26或25． 即共有三种购买方案，方案一：种品牌的粽子27盒，种品牌的粽子23盒；方案二：种品牌的粽子26盒，种品牌的粽子24盒；方案三：种品牌的粽子25盒，种品牌的粽子25盒． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，准确列出不等式组是解题的关键． 20．已知不等式组的解集为，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．解出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集比较，可得答案． 【详解】解：由，得：， 由得：， 不等式组的解集为， ，， 解得，． 21．先化简，再求值：，其中满足不等式组，且为整数． 【答案】；1 【分析】 根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由满足不等式组且为整数，确定 的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 解： ， 由不等式组，得， 为整数，， ， 当时，原式． 【点睛】 本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计 算方法． 22．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 23．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为． 24．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，已知不等式组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，列出不等式组．先解不等式组得出，，再根据两个不等式组有解，得出，再求出，根据不等式组D对于不等式组C“中点包含”，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组得， 解不等式组得， ∴， 解得：， ∴， 不等式组C的“解集中点值”为， ∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ， 解得， 又， 的取值范围为． 试卷第2页，共16页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2.4一元一次不等式组寒假预习课时练 一、单选题 x-2≥1 1.一元一次不等式组 的解集为() x+1≤5 A.-1≤x≤4 B.x≤4 C.x≤3 D.3≤x≤4 x≤3① 2.不等式组 x>-2② 在数轴上表示为：。 -3-2-10123 →，这个不等式组的解集为() A.-2<x<3 B.x>-2 C.x≤3 D.-2<x≤3 3.某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，己知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐 30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些 租车方案？若设租赁甲型客车x辆，则下列不等式组正确的是() 40x+30(10-x>360 40x+30(10-x>360 A. 40x+30(10-x)<360+10 B. 40x+30(10-x)<360-10 40x+30(10-x)≥360 40x+30(10-x)≥360 C. 40x+30(10-x)≤360+10 0 40x+30(10-x≤360-10 4.若x+3)(x-2)=Vx+3Vx-2,则x的取值范围是() A.x≥-3 B.x22 C.x>-3 D.x>2 5.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是() [x>2 x+1>0 A. B. x-1<-3 y-2<0 3x-2>0 [3x-2>0 C D. (x-2(x+3>0 +1小1 x 6.若关于x的方程x-3+口-，x的解为整数，且不等式组 x-4<0无解，则这样的非负整数a有() 2x-3>9 x-2x-22-x A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 7.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是() 3210123→ A.0 B.-3 C.-2 D.-1 8.学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动.某班两位同学关于租车方案讨论如下： 1/4 现有甲、乙两种类型的客车，若租用2辆甲种客 对，若租用1辆甲种客车与2 车与3辆乙种客车，那总载客量为180人； 辆乙种客车的总载客量为 105人： 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活 动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种 不过甲车的租用费用比乙车 类型的客车都要租)，一次将全部师生送到指定 的贵120元，每辆甲种客车的 地点 租金为400元. 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费 用一样多.其中正确的结论是() A.①② B.①②③ C.②2③ D.①②④ 9.P、Q、R、S四人的体重分别为P、9、r、5,他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的 大小关系为( 趣容彰装 A.q<p<s<r B.r<s<q<p C.p<q<s<r D.r<s<p<q 10.已知p=2x+1,q=-2x+2,若规定y= 1+p-q(p≥q） 1-p+q(p<q)' 则y的最小值为() A.0 B.1 C.-1 D.2 二、填空题 x-2>2 11.一元一次不等式组 2xr<10的解集为 2x-m≥-恰有三个整数解，关于x的方程组 x-2<0, 12.若关于x的不等式组 2x+y=6, 的解是正数，则m的取值范 x-y=3m 围是」 13.某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆.经了解， 甲型车每辆最多能载40人和16件行李，乙型车每辆最多能载30人和20件行李，则学校有种租车方案。 14.某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动.若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人， 2/4 则有1个小组的人数不足7人，但多于4人.该数学社团的人数是 x+m≤2有2个整数解，则实数m的取值范围是」 x-3>0 15.若关于x的不等式组 2x-1 ≤5 16.己知ABC的边AB,边BC的长度分别是不等式组 3 的最大整数解与最小整数解；如果ABC的周 3x-5 2 >5 长是奇数，则ABC的第三条边AC的长度的最小值为」 三、解答题 x+528① 17.解不等式组 2x+4<14② (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来. (2)写出满足这个不等式组的所有整数解. 18.某小型企业获得授权生产甲.乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： A种材料(m2) B种材料(m2) 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 0.3 0.5 10 每个乙种吉祥物 0.6 0.2 20 该企业现有A种材料900m2,B种材料850m,用这两种材料生产甲.乙两种吉祥物共2000个.设生产甲种吉 祥物x个，生产这两种吉祥物所获总利润为y元. (1)求出y(元)与x(个)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围： (2)该企业如何安排甲，乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 19.又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽.端午节前夕，某超市打算用不超过3000元购买A,B 两种品牌的粽子50盒，其中A种品牌粽子的单价是56元，B种品牌粽子的单价是64元，且购买B种品牌的粽 子不少于23盒，请你求出所有购买方案。 3x-2<a+1 20.已知不等式组 6-2x<b+2的解集为-1<x<2,求a、b的值. 2先化简，件求金：中中”共中满起不等式如仁0·且为整数。 [x-120 22.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=m,点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，同时点 3/4 Q以每秒2个单位长度的速度从点A向点D运动，设P、Q两点运动的时间为t(秒)，点E为边CD上任意一点 (点E不与点C、D重合)，连接PQ、QE. (1)请直接用含m,t的代数式表示线段QD的长度； (2)当m=5时. ①若点E是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若△APQ与△EDQ全等，求DE的长： (3)若在边AD上总存在点0，使得△APO≌△DQE(点A、P、Q的对应点分别为点D、Q、E),请直接写出 m的取值范围 3x+4y=11 23.(1)解方程： x+2y=5 「-4x-5<2x+13 (2)解不等式组： 5 24.若一个不等式组4有解且解集为a<x<ba<b),称a+也为4的解集中点值：若a+也是不等式组B的解， 2 2 [2x+7>2m+1 则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”.已知关于x的不等式组C 和不等式组 3x-16<9m-1 D.x>m-4 3x-13<5m'若不等式组D对于不等式组C中点包含”，求m的取值范围. 4/4