2025-2026学年高二上学期期末检测数学押题试题

2025-2026学年高二数学上学期期末押题卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D A C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．1830 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）设，由题意可得：，解得：，所以点的坐标为. （2）设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）证明：，，，则，即，解得， 所以，，即， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故. （2）解：， 所以，. 17．（15分） 【解析】（1）当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值. （2）， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 18．（17分） 【详解】（1）由题意，可将组合体补形为正方体， 如图所示，由，可得正方体棱长为， 故多面体的体积； （2）在正方体中，平面平面，平面， 故平面，即平面； （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 取平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 19．（17分） 【解析】(1) 由已知条件知，点M到点F的距离与到直线x=-2的距离相等，由抛物线的定义可知点M的轨迹为以点F为焦点，x=-2为准线的抛物线. 设抛物线的方程为y²=2px(p>0),则，得，所以点M 的轨迹方程y²=8x. (2) 设直线AB的方程为x=my+2,,,则 由消去x得y²-8my-16=0,由韦达定理得， 直线得方程为，化简整理得： 又， 所以直线A'B的方程为(y₂-y₁)y=16+8x=8(x+2) 所以直线A'B经过定点(-2,0). (3) 由(2) 知：且 当时，，直线： 设线段A'B的中点为，则 所以，所以 从而，即 上述方程代入y²=8x 得： 因为CD 是A'B的垂直平分线，所以线段CD 是圆N 的直径. 所以，解得 所以直线AB：，此时CD： 当时，，方程①化简为：x²-38x+324=0，求得，圆N： 当时，同理求得直线AB：，圆N： 综上，直线AB：，圆N： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期末押题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第一册和选修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，，是三个不共面的单位向量，命题可为空间的一个基底，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据基底的定义，可知，若 ，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底， 反过来，若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量， 所以是的充分不必要条件.故选：A 2．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．故选：A. 3．已知等差数列的前项和为，若，，，则（    ） A．1012 B．2026 C．4048 D．5051 【答案】D 【解析】因为 即：，也即：， 又，且解出m=5051. 故选：D 4．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】令双曲线的长轴长为，焦距为，则，而， 则，由及余弦定理得， 解得，所以的离心率为. 故选：A 5．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 【答案】C 【解析】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，， 在中，.所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 6．已知、分别为正方体的棱，的中点，设为二面角的平面角，求　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：建立如图所示的空间坐标系，令正方体的棱长为2， 则，1，，，2，， 设平面的法向量为，，，则由得， 令，则，，故，，， 又由，0，为平面的一个法向量，为的平面角， ，故，故选：． 7．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，或 是正项等比数列 当时，当时， 则的最小值为 故选：D 8．设，其中，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【解析】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 10．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 正方体外接球的体积为 C. 平面截正方体所得截面为五边形 D. 若与相交于点，则直线与平面所成角等于 【答案】BC 【解析】对A，因为，所以或其补角即为异面直线与所成角， 因为平面，平面，所以，所以， 所以异面直线与所成角不等于，错误； 对B，记外接球的半径为，则，得，所以外接球的体积，正确； 对C，延长直线分别与分别交于，连接分别交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面，正确； 对D，因为为正方形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，所以即为直线与平面所成角，因为，所以，错误. 故选：BC 11．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ） A. B. 点在上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D. 当点在上时， 【答案】AD 【解析】对于A，设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B，由选项A知曲线方程为，而，故. 当时，， 所以点不在曲线上，故B错误. 对于C，由曲线的方程可得，取，则，而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1， 故C错误. 对于D，当点在曲线上时，由选项C可得，所以，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】 【解析】求导函数可得，所以，因为切线方程的斜率为1，所以 所以，所以切点坐标为，代入切线方程得． 13．设椭圆 的上顶点为A，左，右焦点分别为，连接并延长交椭圆于点，若，则该椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】依题意，得，由得， 而，所以，因为，所以，则，如图， . 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 因此，解得，所以椭圆的离心率为. 14．已知数列满足，若，求前60项的和为　 　． 【答案】1830 【解析】解：数列满足，，，解得． ，解得． ， 有，，，，，，． 从而可得，，，，，，，， 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． 的前60项和为， 故答案为：1830． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）设，由题意可得：，解得：，所以点的坐标为. （2）设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 16．（15分） 记数列的前项和为，，，. (1)证明数列为等差数列，并求通项公式； (2)记，求. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）由可得出，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】（1）证明：，，，则，即，解得， 所以，，即， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故. （2）解：， 所以，. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 【解析】（1）当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值. （2）， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 18．（17分） 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将多面体补形为正方体，则多面体的体积可用正方体体积减去三个棱锥体积即可求得； （2）由面面平行证得线面平行； （3）在正方体中建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量夹角公式即可求得． 【详解】（1）由题意，可将组合体补形为正方体， 如图所示，由，可得正方体棱长为， 故多面体的体积； （2）在正方体中，平面平面，平面， 故平面，即平面； （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 取平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 19．（17分） 已知动点M(x,y)到点F(2,0) 的距离与点M到直线x+2=0的距离相等，过点F的直线交点M 的轨迹于点A,B,点A关于x轴的对称点为A', 其中直线与x轴不垂直. (1)求点M 的轨迹方程； (2)求证：直线A'B过定点，并求出定点的坐标； (3)线段A'B的垂直平分线交点M的轨迹于C,D, 若以CD为直径的圆的圆心N的横坐标为19,求直 和线AB圆N 的方程. 【解析】(1) 由已知条件知，点M到点F的距离与到直线x=-2的距离相等，由抛物线的定义可知点M的轨迹为以点F为焦点，x=-2为准线的抛物线. 设抛物线的方程为y²=2px(p>0),则，得，所以点M 的轨迹方程y²=8x. (2) 设直线AB的方程为x=my+2,,,则 由消去x得y²-8my-16=0,由韦达定理得， 直线得方程为，化简整理得： 又， 所以直线A'B的方程为(y₂-y₁)y=16+8x=8(x+2) 所以直线A'B经过定点(-2,0). (3) 由(2) 知：且 当时，，直线： 设线段A'B的中点为，则 所以，所以 从而，即 上述方程代入y²=8x 得： 因为CD 是A'B的垂直平分线，所以线段CD 是圆N 的直径. 所以，解得 所以直线AB：，此时CD： 当时，，方程①化简为：x²-38x+324=0，求得，圆N： 当时，同理求得直线AB：，圆N： 综上，直线AB：，圆N： ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期末押题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第一册和选修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，，是三个不共面的单位向量，命题可为空间的一个基底，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，，，则（    ） A．1012 B．2026 C．4048 D．5051 4．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 6．已知、分别为正方体的棱，的中点，设为二面角的平面角，求　　 A． B． C． D． 7．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．设，其中，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 10．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 正方体外接球的体积为 C. 平面截正方体所得截面为五边形 D. 若与相交于点，则直线与平面所成角等于 11．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ） A. B. 点在上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D. 当点在上时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在处的切线方程为，则 ． 13． 设椭圆 的上顶点为A，左，右焦点分别为，连接并延长交椭圆于 点，若，则该椭圆的离心率为________. 14．已知数列满足，若，求前60项的和为　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 16．（15分） 记数列的前项和为，，，. (1)证明数列为等差数列，并求通项公式； (2)记，求. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 18．（17分） 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 19．（17分） 已知动点M(x,y)到点F(2,0) 的距离与点M到直线x+2=0的距离相等，过点F的直线交点M 的轨迹于点A,B,点A关于x轴的对称点为A', 其中直线与x轴不垂直. (1)求点M 的轨迹方程； (2)求证：直线A'B过定点，并求出定点的坐标； (3)线段A'B的垂直平分线交点M的轨迹于C,D, 若以CD为直径的圆的圆心N的横坐标为19,求直 和线AB圆N 的方程. ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $