精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

新蔡一高2025-2026学年上学期1月份月考 高二文科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线与直线平行，则 （ ） A. B. 3 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】因为直线与直线平行，所以， 即，解得 .经检验成立 故选：A. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 3. 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ） A. 120 B. 180 C. 221 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解. 【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法， Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法； Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法， Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有 种涂色方法，此时共有种涂色方法， 综上共有种不同的着色方法. 故选：B. 4. 已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得 ，结合展开式通项利用常数项列方程求解 即可. 【详解】由条件知，即 ，在通项中， 令，得 .所以常数项为，解得 . 故选：C 5. 某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用“分步乘法原理”计算基本事件总数，运用“对立事件概率”简化计算，“不全被选中”的对立事件是“全被选中”，先求对立事件概率，再用概率减法公式得到结果. 【详解】从三个组中各随机选1人参加文艺汇演,则共有种可能， 设事件:和不全被选中,则事件的对立事件共有三种可能, 所以，所以， 故选：D 6. 已知各棱长均相等的直棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平行关系平移异面直线相交，解三角形即可. 【详解】如图所示，连接 交于点，取的中点为， 连接、，则且， 为异面直线与所成的角或补角. 已知各棱长均相等, 设棱长为：2， 则有：，， , 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为：. 故选：A. 7. 已知，则等于 A. 9 B. 11 C. -11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】等式中，可得的值，在将式中 用 表示，利用二项展开式可得的值，可得答案. 【详解】解：令等式中，可得， 原式可变形为： ， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 可得， 故，故选A. 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，需注意其灵活运用. 8. 已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，从而求得 ，再由离心率为求得椭圆 ，设，利用切线长公式求解. 【详解】解：如图所示： 因为，所以， 即，则 ， 又因为离心率为，所以，， 所以椭圆 ， 设， 则， ， 当时，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可. 【详解】由题意：，，. 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，， 所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 直线的方程为（为椭圆的半焦距） D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用垂直以及椭圆定义得出为等腰直角三角形，即可判断ABC选项；设，再利用椭圆定义求出，在中由勾股定理可得，再利用三角形的面积公式即可. 【详解】因，则， 又，且， 则为等腰直角三角形，且，， 在中得，故，则A正确； 由对称性可知，直线的斜率，则直线的方程为，故B，C正确； 设，则， 则在中，由勾股定理得，得， 则的面积为，故D错误. 故选：ABC 11. 在矩形中， ，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接 得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 点都在同一球面上 C. 点在某一位置，可使 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可求解A，根据直角三角形的性质即可求解B，根据线面垂直得线性垂直即可求解CD. 【详解】如图所示：分别过作， 对A，当平面平面时，三棱锥的高最大为， 三棱锥体积的最大值为，A正确； 对B，， 的中点为，则,故为三棱锥的外接球球心，B正确； 对C，若存在点在某一位置，使，连接 ， 由于，，平面， 则平面，又平面， ，这与相矛盾,不重合）， 不存在点在某一位置，使，C错误； 对D，当，又，，平面, 平面，又平面， ，又，，，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 13. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线 的对称点，然后计算到军营区域的最短距离. 【详解】求点关于直线 的对称点的坐标,设， 直线 的斜率为 ，则所在直线的斜率为， 因为中点在直线 上，且. 由，解方程组得， ，所以. 军营区域是以原点为圆心，半径的圆及其内部. 则到原点的距离. 到军营区域的最短距离为. “将军饮马”的最短总路程为 . 故答案为： . 14. 已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记等边的边长为，利用双曲线的定义得到，进而在中利用余弦定理求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是等边三角形，不妨记，所以， 由双曲线的定义得，故， 所以， 又由双曲线的定义得，所以，故， 所以，， 在中，，则， 所以，整理得，故， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和 ，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和 . （1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； （2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解； （2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 这两件产品来自同一流水线的概率为. 【小问2详解】 设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . 16. 已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】（1） 或. （2）或 【解析】 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【小问1详解】 由题意可知圆：的圆心坐标，半径 ， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为 时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为 或. 【小问2详解】 圆：的圆心坐标，半径 ， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为 ，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为 ，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 17. 2024年是弗拉基米尔•伊里奇•列宁逝世100周年.列宁同志短暂而又波澜壮阔的革命生涯，留给我们的宝贵遗产不仅是博大精深的思想，还有矢志不移的理想信念、坚韧不拔的革命意志和崇高的精神品格.为增加全体同学对列宁同志的了解，某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. 【小问2详解】 设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为2的正方形，是的中点. （1）求证：平面 ； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明：解法1：因为平面，平面，平面， 所以 . 因为四边形为正方形，所以. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以. 设平面 的法向量为，由可得：， 令，则. 因为 ， 平面 ，所以平面 . 解法2：如图，连接 交于，连接， 因为 分别为 的中点，所以. 因为 平面 平面 ，所以平面 . （2）2或4 【解析】 【分析】（1）结合题目条件建立空间直角坐标系，设，表示各点坐标，求和平面 的法向量，利用 可证明结论. （2）计算和平面的法向量，利用线面角的向量公式建立等量关系即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：由（1）知，，， 设平面的法向量为，由可得：， 令 ，则，设直线与平面所成角为 ， ，解得 或 ，故长为2或4. 解法2： 作直三棱柱 ，过点作 于，过点作 于， 取的中点，连结 ，则 平面 平面，所以在平面的投影即为. 因为 ，所以四边形为平行四边形，所以， 所以 为直线与平面所成的角. 设，则， 则，解得 或 ，故长为2或4. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则 ， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 因为椭圆的方程为 ，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年上学期1月份月考 高二文科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线与直线平行，则 （ ） A. B. 3 C. 12 D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ） A. 120 B. 180 C. 221 D. 300 4. 已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知各棱长均相等的直棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则等于 A. 9 B. 11 C. -11 D. 12 8. 已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 直线的方程为（为椭圆的半焦距） D. 的面积为 11. 在矩形中， ，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接 得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 点都在同一球面上 C. 点在某一位置，可使 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 13. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为______． 14. 已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线 左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和 ，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和 . （1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； （2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 16. 已知圆 ：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. （1）若直线与圆 相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 17. 2024年是弗拉基米尔•伊里奇•列宁逝世100周年.列宁同志短暂而又波澜壮阔的革命生涯，留给我们的宝贵遗产不仅是博大精深的思想，还有矢志不移的理想信念、坚韧不拔的革命意志和崇高的精神品格.为增加全体同学对列宁同志的了解，某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为2的正方形，是的中点. （1）求证：平面 ； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $