专题五 解析几何　第5讲　定点、定值和探索性问题讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何中的定点、定值和探索性问题，按高考命题规律整合为定点(线)、定值、探究性三大模块，通过真题探究明确考向，结合典例精讲、方法归纳、变式训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破中高档解答题难点。 资料以新高考真题为导向，创新采用“考点梳理-典例建模-分层训练”教学模式，如在定点问题中引导学生设线建系、代数推理确定定点，培养数学思维与运算能力。设置限时训练与拓展训练，确保复习效率，助力学生提升应考技能，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

专题五 解析几何 第5讲　定点、定值和探索性问题 【探究真题.明确方向】 1.(2020·新高考Ⅰ卷，T22)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1). (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 2.(2023·新高考Ⅱ卷，T21)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查.分值约为15~17分. 【考向预测】一是要熟练掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础；二是定值、定点的证明与探究，考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养. 1.(1)【解析】由题设得+=1，=， 解得a2=6，b2=3. 所以C的方程为+=1. (2)【证明】设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y=kx+m，代入+=1， 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. 于是x1+x2=-，x1x2=. ① 由AM⊥AN，得·=0， 故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0， 整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. 将①代入上式，可得(k2+1)-(km-k-2)·+(m-1)2+4=0， 整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. 因为A(2，1)不在直线MN上， 所以2k+m-1≠0，所以2k+3m+1=0，k≠1. 所以直线MN的方程为y=k-(k≠1). 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，-y1). 由·=0， 得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0. 又+=1，所以3-8x1+4=0. 解得x1=2(舍去)或x1=. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|=|AP|=. 若D与P重合，则|DQ|=|AP|. 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值. 2.(1)【解析】设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)， 由焦点坐标可知c=2， 则由e==， 可得a=2，b==4， 所以双曲线C的方程为-=1. (2)【证明】由(1)可得A1(-2，0)，A2(2，0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 设直线MN的方程为x=my-4，且-<m<， 与-=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0， 则y1+y2=，y1y2=， 直线MA1的方程为y=(x+2)， 直线NA2的方程为y=(x-2)， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 == = = ==-， 由=-可得x=-1，即xP=-1， 据此可得点P在定直线x=-1上运动. 考点一　定点(线)问题 【典例】1　(2025·西安模拟)已知点A(-2，0)，B(2，0)，P是平面内一动点，PQ⊥AB，垂足Q位于线段AB上且不与点A，B重合，4|PQ|2=3|AQ|·|QB|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点D(1，0)且与曲线C相交的两条线段分别为EF和MN，EF⊥MN(直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线C上)，若G，H分别是EF和MN的中点，求证：直线GH过定点. (1)【解析】由题可设P(x，y)，则Q(x，0)(-2<x<2)， 因为4|PQ|2=3|AQ|·|QB|， 所以4y2=3|x+2||x-2|=3|x2-4|=3(4-x2)， 整理得+=1， 即动点P的轨迹C的方程为+=1(-2<x<2). (2)【证明】由题意可知直线EF，MN的斜率存在且不为0，设直线EF的方程为y=k(x-1)(k≠0)， E(x1，y1)，F(x2，y2)， 联立 消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，Δ>0， 所以x1+x2=，x1x2=， 则y1+y2=k(x1+x2)-2k=， 所以EF的中点坐标为G， 因为EF⊥MN，所以直线MN的方程为y=-(x-1)(k≠0)， 同理可得MN的中点坐标为H， 当k=±1时，易得直线GH的方程为x=； 当k≠±1时，直线GH的斜率kGH==， 所以直线GH的方程为y-=， 令y=0⇒x=+=. 所以直线GH过定点. 【考法归纳】 (1)直线过定点问题，一般先设出直线的方程：y=kx+b，然后利用题中条件得出k，b的关系，进而确定定点. (2)圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，常把问题转化为PA⊥PB，也可以转化为·=0. 【变式训练】1　(2025·榆林模拟)已知焦距为2且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(2，1).直线l：y=kx+m不过点A.若l与E相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点A. (1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：点(k，m)在定直线上. (1)【解析】设椭圆E的方程为+=1(a>b>0). 因为焦距为2，所以2c=2，c=， 即c2=a2-b2=3， 则解得 故椭圆E的标准方程为+=1. (2)【证明】设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0， 由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0，得6k2-m2+3>0， 则x1+x2=-，x1x2=. 因为以MN为直径的圆过点A， 所以AM⊥AN，即·=(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0， 整理得y1y2-(y1+y2)+1=-x1x2+2(x1+x2)-4， ① 将y1+y2=k(x1+x2)+2m=， y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=， 代入①式可得， -+1=---4， 整理得(2k+m-1)(2k+3m+1)=0， 因为直线l不过点A，所以2k+m≠1， 即2k+3m+1=0， 所以点(k，m)在定直线2x+3y+1=0上. 考点二　定值问题 【典例】2　(2025·济宁模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且点A(4，3)在双曲线C上. (1)求C的方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，∠PAQ的平分线与x轴垂直，求证：l的倾斜角为定值. (1)【解析】由题意有⇒b2=a2， 又点A(4，3)在双曲线C上，所以-=1， 解得a2=4，b2=3， 所以双曲线C的方程为-=1. (2)【证明】方法一　直接法 由已知得直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 得(3-4k2)x2-8kmx-4m2-12=0， 所以Δ=(-8km)2-4(3-4k2)(-4m2-12)=48(m2-4k2+3)>0，3-4k2≠0， 则x1+x2=，x1x2=-， 因为∠PAQ的平分线与x轴垂直， 所以kAP+kAQ=0，即+=0， 所以(y1-3)(x2-4)+(y2-3)(x1-4)=0， 即2kx1x2+(m-3-4k)(x1+x2)-8(m-3)=0， 所以-2k·+(m-3-4k)·-8(m-3)=0， 即-24(k+1)(m+4k-3)=0， 所以k=-1或m=3-4k， 当m=3-4k时，直线l的方程为y=kx+3-4k=k(x-4)+3，即直线l过点A(4，3)，不符合题意， 所以k=-1，设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)， 则k=tan α=-1，解得α=， 即直线l的倾斜角为定值. 方法二　平移齐次化 将图形向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度， 平移后的双曲线方程为-=1， 整理得3x2-4y2+24x-24y=0， 平移后点A'的坐标为(0，0)， 设直线PQ平移后得到的直线P'Q'的方程为mx+ny=1(n≠0)， P'(x1，y1)，Q'(x2，y2)， 联立 得3x2-4y2+24x(mx+ny)-24y(mx+ny)=0， 即(3+24m)x2-(4+24n)y2+24(n-m)xy=0， 两边同时除以x2，得-(4+24n)+24(n-m)+(3+24m)=0， 又因为∠P'A'Q'的平分线与x轴垂直，所以kP'A'+kQ'A'=0， 又A'(0，0)，所以+=0， 所以-=0，所以n=m， 所以直线mx+ny=1的斜率为-=-1. 即直线l的倾斜角为定值. 【考法归纳】圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 【变式训练】2　(2025·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，OP为半径的圆与圆C：x2+(y+)2=5的公共弦为MN.证明：△CMN的面积为定值，并求出该定值. 【解析】(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)， 由题意知 解得 所以椭圆E的标准方程为+x2=1. (2)如图，设P(x0，y0)， 则+=1， 且圆P的方程为+=+， 即圆P的方程为x2+y2-2x0x-2y0y=0. 因为圆C的方程为x2+=5，则圆心C(0，-)，圆C的半径为， 将圆P的方程与圆C的方程作差，得 x0x+(+y0)y-1=0， 所以直线MN的方程为x0x+(+y0)y-1=0， 故点C(0，-)到直线MN的距离d== == ==2， 又因为|MN|=2=2， 所以△CMN的面积S△CMN=|MN|·d=×2×2=2，即△CMN的面积为定值2. 考点三　探究性问题 【典例】3　(2025·福州模拟)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1交C于A，B两点(点A在第一象限)，当l1垂直于x轴时，|AB|=4. (1)求C的方程； (2)过点F且与l1垂直的直线l2交C于D，E两点(点D在第一象限)，直线x=1与直线AD和BE分别交于P，Q两点. ①当l1的斜率为时，求|PQ|； ②是否存在以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求l1，l2的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)设A(xA，yA)， B(xB，yB)，其中yA>0， 由题意可知F， 当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=， 将x=代入y2=2px(p>0)， 可得yA=p，yB=-p， 所以|AB|=2p=4，即p=2， 所以C的方程为y2=4x. (2)①依题意，直线AB的方程为y=(x-1)， 即x=y+1， 由 得y2-3y-4=0， 解得yA=4，yB=-1， 则A(4，4)，B. 设D(xD，yD)，E(xE，yE)，其中yD>0， 直线DE的方程为y=-(x-1)， 即x=-y+1， 由 得y2+y-4=0， 解得yD=，yE=-6， 则D，E(9，-6). 所以kAD==，则直线AD的方程为y-4=(x-4)， 令x=1，得y=，所以P， 又kBE==-，所以直线BE的方程为y+6=-(x-9)， 令x=1，得y=-，所以Q，所以|PQ|=. ②方法一　设直线AB的方程为x=my+1，不妨设m>0，由 得y2-4my-4=0，则yAyB=-4， 同理yDyE=-4. 直线AD的方程为y-yA=(x-xA)， 即y=+yA， 设P(1，yP)， Q(1，yQ)， 令x=1，得yP=， 由于yA=-，yD=-， 所以yQ=-=-yP， 从而PQ的中点恒为F，所以以PQ为直径的圆与y轴相切等价于yP=1. 即yAyD+4=yA+yD， 由AB⊥DE得，·=-1， 故=-16， 即-4(+)+16=-16yAyD， 所以=4， 如图，可知yA>yD>0， 所以yAyD+4=2(yA-yD)， 所以yA+yD=2(yA-yD)， 因此yA=3yD， 可得3-4yD+4=0， 而Δ=-32<0，该方程无解， 故不存在以PQ为直径的圆与y轴相切. 方法二　设直线AD的方程为x=ky+m，其中m<0， 由 得y2-4ky-4m=0，则Δ=16k2+16m>0， yA+yD=4k，yAyD=-4m. 因为FA⊥FD，所以·=-1， 即yAyD+=0，即yAyD+-+)+1=0， 所以-4m+m2-(16k2+8m)+1=0， 从而4k2=m2-6m+1. 设P(1，yP)，Q(1，yQ)， 令x=1，得yP=，故= ==4≥2， 当且仅当m=-1时，等号成立， 同理可得≥2，而P，Q分别在第一、第四象限， 所以|PQ|≥2>2，故不存在以PQ为直径的圆与y轴相切. 【考法归纳】存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意：当结论或条件不唯一时，要分类讨论. 【变式训练】3　(2025·宝鸡模拟)已知双曲线C过点P(，1)且一条渐近线方程为x+y=0. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若过点M(1，0)的直线l与双曲线C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点N，使直线NA与直线NB关于x轴对称，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为双曲线C的一条渐近线方程为x+y=0，所以设双曲线C的方程为x2-y2=λ(λ≠0)， 又双曲线C过点P(，1)，代入上式得，λ=2， 所以双曲线C的方程为-=1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 假设在x轴上存在定点N(x0，0)，使直线NA与直线NB关于x轴对称，则kNA+kNB=0. 由题意知，直线l的斜率一定存在，设其方程为y=k(x-1)， 联立 消去y得(1-k2)x2+2k2x-k2-2=0， 由题意知 即k∈(-，-1)∪(-1，1)∪(1，)， 又x1+x2=，x1x2=， 则kNA+kNB=+ ==0， 即k=0， 化简得=0， 故k(2x0-4)=0， 由于上式对∀k∈(-，-1)∪(-1，1)∪(1，)恒成立，所以x0=2， 所以存在定点N(2，0)，使kNA+kNB=0，即使直线NA与直线NB关于x轴对称. 【限时训练】（限时：30分钟） 1.(17分)(2025·石家庄模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过A(-2，0)，B(2，0)两点，其左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为有理数，点M为椭圆C上异于A，B的动点，△MF1F2面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程；(7分) (2)若直线AM与BM分别交直线x=10于P，Q两点，证明：直线AP和AQ的斜率之积为定值.(10分) (1)【解析】由椭圆C：+=1经过A(-2，0)，B(2，0)两点，可得a=2， 根据椭圆的几何性质，可得当点M为椭圆的上、下顶点时，△MF1F2的面积取得最大值， 即=bc=， 又因为a2=b2+c2，即22=b2+c2， 且焦距为有理数，解得b=，c=1， 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)【证明】设M(x0，y0)，满足+=1，x0≠±2， 则kAP=kAM=，kBM=， 则直线BM的方程为y=(x-2)， 令x=10，可得y=，即Q， 则kAQ==·， 所以kAP·kAQ=·=·=-，即直线AP和AQ的斜率之积为定值-. 2.(17分)(2025·南京模拟)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P(-1，1)的直线l与C交于A，B两点. (1)若|PF|是|AF|和|BF|的等比中项，求直线l的方程；(8分) (2)若D是C上一点，且直线AD的斜率为2，证明：直线BD经过定点.(9分) (1)【解析】由题意设直线l的方程为x=m(y-1)-1， A，B，由题意知F(1，0)， 联立 消去x得y2-4my+4m+4=0， 则Δ=16m2-16m-16>0， y1+y2=4m，y1y2=4m+4， 因为|PF|是|AF|和|BF|的等比中项， 所以|AF|·|BF|=|PF|2， 即=5， 所以++1=5， 所以(m+1)2+=4， 解得m=-1或m=1， 当m=1时，Δ=-16<0(舍去)， 所以m=-1，所以直线l的方程为x+y=0. (2)【证明】设A，B，D， 则kAD===2， 所以y1+y3=2， 直线AB的方程为 y=+y1=x+， 即4x-(y1+y2)y+y1y2=0， 因为直线AB过点P(-1，1)， 所以-4-(y1+y2)+y1y2=0， 同理可得，直线BD的方程为y=+y3， 即4x-(y3+y2)y+y3y2=0， 将y3=2-y1代入上式得， 4x-(2-y1+y2)y+y2(2-y1)=0， 即4x-(2-y1+y2)y+2y2-(y1+y2)-4=0， 即4x-(2-y1+y2)y+(2-y1+y2)-6=0， 即4x-6=(2-y1+y2)(y-1)， 令解得 所以直线BD恒过定点. 【拓展训练】(共17分) 3.(17分)(2025·贵州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为D，E，右焦点为F，点P是双曲线C上异于D，E的一点，且直线PD，PE的斜率之积为. (1)求双曲线C的渐近线方程；(4分) (2)若PF垂直于x轴，且|PF|=，直线l与双曲线C相切，直线l与直线PF相交于点Q，与直线x=相交于点R，证明为定值，并求此定值；(6分) (3)在(2)的条件下，已知直线n与双曲线C交于点M，N(异于点D)，若以MN为直径的圆经过点D，且DG⊥MN于点G，证明：存在定点H，使得|GH|为定值.(7分) (1)【解析】依题意，D(-a，0)，E(a，0)， 设点P(x0，y0)，则-=1， 即=-a2)， 由直线PD，PE的斜率之积为， 得=·==， 解得=， 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. (2)【解析】设F(c，0)，由PF⊥x轴，|PF|=， 得-=1，又=，c2=a2+b2， 所以b=1，a=，c=2， 则双曲线C的方程为-y2=1， 设直线l与双曲线C相切的切点为(t，s)(s≠0)， 则s2=t2-1，直线l的方程为-sy=1， 所以Q，R， 则|QF|=， |RF|===·， 而|t|>，所以=， 所以为定值. (3)【证明】当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m， M(x1，y1)，N(x2，y2)，而D(-，0)，x1≠-，x2≠-， 由 消去y得(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0， 则 即3k2-1≠0且3k2-m2-1<0， x1+x2=，x1x2=， 则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2， 因为以MN为直径的圆经过点D，所以DM⊥DN， 又=(x1+，y1)，=(x2+，y2)， 则·=(x1+)(x2+)+y1y2=0， (k2+1)x1x2+(km+)(x1+x2)+m2+3=0， 于是(k2+1)·+(km+)·+m2+3=0， 化简得m2-3km+6k2=0， 即(m-k)(m-2k)=0， 而直线MN不过点D，即m≠k，因此m=2k， 直线MN：y=k(x+2)过定点T(-2，0)； 当直线MN的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线DM的方程为y=x+， 由 解得x=-2或x=-， 则点M，N的横坐标均为-2， 即直线MN：x=-2过定点T(-2，0)， 因此直线MN过定点T(-2，0)， 由DG⊥MN于点G，得点G在以DT为直径的圆上，H为圆心，|GH|为半径，则|GH|=|DT|=， 故存在定点H，使|GH|为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 解析几何 第5讲　定点、定值和探索性问题 【探究真题.明确方向】 1.(2020·新高考Ⅰ卷，T22)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1). (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 2.(2023·新高考Ⅱ卷，T21)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查.分值约为15~17分. 【考向预测】一是要熟练掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础；二是定值、定点的证明与探究，考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养. 考点一　定点(线)问题 【典例】1　(2025·西安模拟)已知点A(-2，0)，B(2，0)，P是平面内一动点，PQ⊥AB，垂足Q位于线段AB上且不与点A，B重合，4|PQ|2=3|AQ|·|QB|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点D(1，0)且与曲线C相交的两条线段分别为EF和MN，EF⊥MN(直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线C上)，若G，H分别是EF和MN的中点，求证：直线GH过定点. 【考法归纳】 (1)直线过定点问题，一般先设出直线的方程：y=kx+b，然后利用题中条件得出k，b的关系，进而确定定点. (2)圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，常把问题转化为PA⊥PB，也可以转化为·=0. 【变式训练】1　(2025·榆林模拟)已知焦距为2且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(2，1).直线l：y=kx+m不过点A.若l与E相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点A. (1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：点(k，m)在定直线上. 考点二　定值问题 【典例】2　(2025·济宁模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且点A(4，3)在双曲线C上. (1)求C的方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，∠PAQ的平分线与x轴垂直，求证：l的倾斜角为定值. 【变式训练】2　(2025·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，OP为半径的圆与圆C：x2+(y+)2=5的公共弦为MN.证明：△CMN的面积为定值，并求出该定值. 考点三　探究性问题 【典例】3　(2025·福州模拟)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1交C于A，B两点(点A在第一象限)，当l1垂直于x轴时，|AB|=4. (1)求C的方程； (2)过点F且与l1垂直的直线l2交C于D，E两点(点D在第一象限)，直线x=1与直线AD和BE分别交于P，Q两点. ①当l1的斜率为时，求|PQ|； ②是否存在以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求l1，l2的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练】3　(2025·宝鸡模拟)已知双曲线C过点P(，1)且一条渐近线方程为x+y=0. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若过点M(1，0)的直线l与双曲线C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点N，使直线NA与直线NB关于x轴对称，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【限时训练】（限时：30分钟） 1.(17分)(2025·石家庄模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过A(-2，0)，B(2，0)两点，其左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为有理数，点M为椭圆C上异于A，B的动点，△MF1F2面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程；(7分) (2)若直线AM与BM分别交直线x=10于P，Q两点，证明：直线AP和AQ的斜率之积为定值.(10分) 2.(17分)(2025·南京模拟)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P(-1，1)的直线l与C交于A，B两点. (1)若|PF|是|AF|和|BF|的等比中项，求直线l的方程；(8分) (2)若D是C上一点，且直线AD的斜率为2，证明：直线BD经过定点.(9分) 【拓展训练】(共17分) 3.(17分)(2025·贵州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为D，E，右焦点为F，点P是双曲线C上异于D，E的一点，且直线PD，PE的斜率之积为. (1)求双曲线C的渐近线方程；(4分) (2)若PF垂直于x轴，且|PF|=，直线l与双曲线C相切，直线l与直线PF相交于点Q，与直线x=相交于点R，证明为定值，并求此定值；(6分) (3)在(2)的条件下，已知直线n与双曲线C交于点M，N(异于点D)，若以MN为直径的圆经过点D，且DG⊥MN于点G，证明：存在定点H，使得|GH|为定值.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 $