专题四 概率与统计第3讲统计与成对数据的统计分析讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与成对数据的统计分析，涵盖统计图表、数字特征、回归分析、独立性检验等核心考点，按高考考向分考点系统梳理，通过考点解析、典例精讲、真题演练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料以核心素养为导向，创新采用“真题引领-模型建构-数据应用”教学模式，如在回归分析中引导学生通过对数变换建立非线性模型，培养数学思维与数据观念。设置基础巩固、能力提升、限时训练分层练习，配合残差分析、独立性检验等实战策略，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题四 概率与统计 第3讲　统计与成对数据的统计分析 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T1)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A.8 B.9 C.12 D.18 2.(2023·新课标Ⅱ卷，T3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比【典例】分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 3.(2025·天津，T5)下列说法中错误的是(　　) A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1，相关性越强 D.|r|越接近0，相关性越弱 4.(2025·全国Ⅰ卷，T15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附：χ2=， α 0.05 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~15分. 【考向预测】一是统计知识，如样本数据数字特征计算与频率分布直方图等相结合进行考查；二是一元线性回归模型的分析，以社会实际生产生活问题为情境的回归直线方程的求解与应用；三是独立性检验，实际生活背景下的两类变量之间的相关性检验. 1.【答案】C 【解析】样本数据2，8，14，16，20的平均数为=12. 2.【答案】D 【解析】根据比【典例】分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60×=40(人)，高中部共抽取60×=20(人)，根据组合公式和分步乘法计数原理知，不同的抽样结果共有·种. 3.【答案】B 【解析】根据正态分布的对称性可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A正确；若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B错误；样本相关系数r的绝对值越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C，D正确. 4.【解析】(1)根据表格可知，超声波检查结果不正常的200人中有180人患该疾病， 所以p的估计值为=. (2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关， 根据表中数据可得， χ2= =765.625>10.828=x0.001， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 考点一　统计图表、数字特征 【典例】1　(1)(2025·绵阳模拟)某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号的空调的销售情况，得到销售量的折线图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是(　　) A.A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大 B.A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大 C.A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大 D.A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小 【答案】D 【解析】由图可知，A型号空调月销售量的极差为50-25=25， B型号空调月销售量的极差为45-22=23，故A正确； A型号空调月平均销售量为×(25+28+27+42+38+50)=35， B型号空调月平均销售量为×(22+25+30+37+40+45)≈33，故B正确； 将A型号空调月销售量数据从小到大排列为25，27，28，38，42，50， 由6×75%=4.5，则A型号空调月销售量的上四分位数为42， 将B型号空调月销售量数据从小到大排列为22，25，30，37，40，45， 由6×75%=4.5，则B型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确； A型号空调月销售量的方差为 ×[(25-35)2+(28-35)2+(27-35)2+(42-35)2+(38-35)2+(50-35)2]≈83， B型号空调月销售量的方差约为 ×[(22-33)2+(25-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(40-33)2+(45-33)2]≈67，故D错误. (2)(多选)(2025·攀枝花模拟)某校高三年级共有1 000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则(　　) A.a=0.04 B.样本的众数估计值为55 C.样本的第75百分位数约为61.25 D.该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 【答案】AC 【解析】对于A，0.01×5+0.07×5+0.06×5+a×5+0.02×5=1，解得a=0.04，故A正确； 对于B，由图可知体重在[50，55)的样本最多，则样本的众数估计值为52.5，故B错误； 对于C，由0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.75， 0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.75，则设第75百分位数为x， 0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×(x-60)=0.75，解得x=61.25，故C正确； 对于D，由图可得学生体重高于65千克的概率P=0.02×5=0.1， 则该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为1 000×0.1=100(人)，故D错误. 【考法归纳】 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率=组距×. (2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (3)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数. ②中位数左边和右边的小长方形的面积和相等. ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 【变式训练】1　(1)(2025·萍乡模拟)已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的75%分位数是(　　) A.114 B.115 C.120.5 D.121 【答案】D 【解析】共10个数据，按从小到大的顺序排列为114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， 10×0.75=7.5， 则75%分位数是第8个数据121. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比【典例】超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 【答案】C 【解析】对于A，根据频数分布表可知， 6+12+18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%=66%，故B错误； 对于C，因为1 200-900=300， 1 150-950=200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得， 平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 考点二　回归分析 【典例】2　(1)(多选)(2025·皖豫联盟联考)2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模(单位：十亿美元)的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份 代号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场 规模y 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设z=ln y，z与x的关系可以用线性回归模型=0.35x+1.57进行拟合，e0.35≈1.42，e1.57≈4.8，则(　　) A.人工智能的市场规模与年份正相关 B.人工智能的市场规模的90%分位数为110 C.y关于x的经验回归方程为=e0.35x+4.8 D.人工智能的市场规模的年增长率约为42% 【答案】AD 【解析】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，因为10×0.9=9，所以90%分位数是从小到大排列的第9个和第10个数据的平均数，即=130，故B错误； 对于C，因为z=ln y，即ln =0.35x+1.57， =e0.35x+1.57≈4.8e0.35x，故C错误； 对于D，设x2=x1+1， 则==e0.35·≈1.42， 故市场规模的年增长率约为42%，故D正确. (2)(2025·聊城模拟)为了研究某市高中生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的=19.25，=161，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为=4x+.已知被调查的某学生的脚长为25 cm，身高180 cm，则该样本点的残差为(　　) A.1 cm B.-1 cm C.4 cm D.-4 cm 【答案】D 【解析】因为=19.25，=161， 又经验回归方程=4x+必过点(，)， 所以161=4×19.25+， 解得=84，所以=4x+84， 当x=25时，=4×25+84=184， 所以该样本点的残差为180-184=-4(cm). 【考法归纳】 (1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(，)一定在经验回归直线上. (2)求时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆. (3)利用样本相关系数判断线性相关程度强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小. (4)区分样本相关系数r与决定系数R2. (5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值. 【变式训练】2　(2025·齐鲁名校联考)下表是2020年至2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人口数y 120 106 96 90 95 (1)求2020年至2024年中国每年出生人口数的平均数； (2)某研究人员建立了y关于x的回归模型=120-6x，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万； (3)求(2)中回归模型的决定系数R2，并评价其拟合效果.(如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好；如果0.7≤R2<0.85，就认为拟合效果一般；如果R2<0.7，就认为拟合效果差) 附：R2=1-，≈567. 【解析】(1)平均数为×(120+106+96+90+95)==101.4(十万人)， (2)中国出生人口数低于700万，即<70. =120-6x<70，解得x>，x∈N*， 当x=8时，=120-6×8=72>70， 当x=9时，=120-6×9=66<70， x=9对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万. (3)当x=1时，=120-6×1=114，(y1-)2=(120-114)2=36， 当x=2时，=120-6×2=108，(y2-)2=(106-108)2=4， 当x=3时，=120-6×3=102，(y3-)2=(96-102)2=36， 当x=4时，=120-6×4=96，(y4-)2=(90-96)2=36， 当x=5时，=120-6×5=90，(y5-)2=(95-90)2=25， 所以R2=1- ≈1-=≈0.76， 因为0.7≤R2<0.85，所以这个模型的拟合效果一般. 考点三　独立性检验 【典例】3　(多选)(2025·新余模拟)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则(　　) 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：χ2=. α 0.1 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 6.635 7.879 10.828 A.这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B.这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C.χ2的观测值约为13.428 D.根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该新药有效 【答案】AD 【解析】由题可将2×2列联表补充完整如表. 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由表可知A正确，B错误； 零假设为H0：种子抗病虫害与该新药无关，由表可知χ2=≈14.439>10.828，因此根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为该新药有效，故C错误，D正确. 【考法归纳】 (1)χ2越大，两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可能性. (2)在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01. 【变式训练】3　(2025·华大新高考联盟质检)为了了解某地25~40岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如表所示. 工资超过3 500 工资不超过3 500 合计 男性居民 200 180 女性居民 280 240 合计 (1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？ (2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3 500的概率. 附：χ2=. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)完善表格如表所示. 工资超过3 500 工资不超过3 500 合计 男性居民 200 180 380 女性居民 280 240 520 合计 480 420 900 零假设为H0：工资的多少与居民的性别不具有相关性， 则χ2=≈0.13<3.841， 故依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为假设成立， 即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性. (2)由题意知，工资超过3 500的概率为P==. 记至少2人工资超过3 500为事件A， 所以P(A)=××+=. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·湖北九师联盟模拟)已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】该组数据从小到大排列为4，6，7，8，9，10，14，15，17，因为9×40%=3.6，所以该组数据的40%分位数为第4个数据，即数据的40%分位数为8. 2.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66　67　40　37　14　64　05　71　11　05　65 09　95　86　68　76　83　20　37　90 57　16　03　11　63　14　90　84　45　21　75 73　88　05　90　52　23　59　43　10 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本的编号是(　　) A.10 B.09 C.71 D.20 【答案】B 【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，20，所以选出来的第4个样本的编号为09. 3.(2025·东三省四市教研联合体模拟)为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，102.5)这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为(　　) A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4 【答案】A 【解析】由题意成绩在区间[92.5，102.5)内学生的频率为=0.2，=0.02，即所求矩形高度为0.02. 4.(2025·安康联考)有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为，若样本数据-x1+1，-x2+1，…，-xn+1的平均数为，方差为，则(　　) A.=-1 B.= C.= D.> 【答案】C 【解析】根据样本数据平均数公式可知，=-+1，方差=(-1)2=. 5.某在线平台利用AI技术为学生提供个性化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分数按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为(　　) A.85 B.80 C.77.5 D.75 【答案】C 【解析】由于(0.005+0.005+0.010+0.015)×10=0.35，(0.005+0.005+0.010+0.015+0.020)×10=0.55， 因此中位数落在区间[70，80)内，设中位数为x， 由0.35+0.020×(x-70)=0.5，得x=77.5，因此，中位数约为77.5. 6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高x(单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y(单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为=x+，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l2的方程为=x+，样本相关系数为r2.则下列选项正确的是(　　) A.>，>，r1<r2 B.>，<，r1>r2 C.<，<，r1>r2 D.<，>，r1<r2 【答案】D 【解析】这7个身高的平均数 =≈176， 因为点(167，90)的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，所以去掉该点后经验回归直线的截距变小，而斜率变大，所以>，<， 又r1>0，r2>0，且去掉点(167，90)后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以r1<r2. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·济南模拟)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(　　) 附： α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关 B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.100 C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关 D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.01 【答案】BC 【解析】对于A，B，若α=0.100，因为χ2≈2.727>2.706，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.100，故A错误，B正确； 对于C，D，若α=0.010，因为χ2≈2.727<6.635，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 8.(2025·浙江R6联盟联考)下列结论中，正确的有(　　) A.若随机变量ξ~N(2，σ2)，P(ξ≤5)=0.81，则P(ξ≤-1)=0.19 B.将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C.已知经验回归方程为=x+2.8，且=4，=30，则=6.8 D.在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，R2值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】对于A，因为随机变量ξ~N(2，σ2)，P(ξ≤5)=0.81， 所以P(ξ≤-1)=1-P(ξ≤5)=1-0.81=0.19，故A正确； 对于B，将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值发生变化而方差不变，故B错误； 对于C，因为经验回归方程为=x+2.8，且=4，=30， 则30=4+2.8，即=6.8，故C正确； 对于D，在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，R2值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·湖南名校联合体模拟)高三某班第一组学生的数学期末考试成绩分别为138，130，120，122，120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差的绝对值为　　　　　.  【答案】1 【解析】将成绩从小到大排列为110，120，120，122，130，130，130，138， 所以该组成绩的中位数为=126， 平均数为=125， 所以该组成绩的中位数与平均数之差的绝对值为|126-125|=1. 10.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i=1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c，k为参数).令xi=ln Wi，yi=ln fi，计算得=8，=5，=214.由最小二乘法得经验回归方程为=x+7.4，则k的值为　　　　　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 i(i=1，2，…，8)，若残差平方和≈0.28，则决定系数R2≈　　　　　　.  【答案】-0.3　0.98 【解析】因为f=cWk，两边取对数可得ln f=ln c+kln W，又xi=ln Wi，yi=ln fi， 依题意经验回归方程=x+7.4必过点(，)， 所以5=8+7.4， 解得=-0.3，所以k=-0.3， 又R2=1-=1- ≈1-=0.98. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2025·湖南名校联考)为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表. 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 35 35 70 不喜欢跳绳 10 20 30 合计 45 55 100 (1)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？(5分) (2)已知该校学生每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1 000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170，200]内的学生人数.(结果精确到整数)(8分) 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 【解析】(1)零假设为H0：学生的性别和是否喜欢运动无关. χ2=≈2.357<2.706， 所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. (2)训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，则μ=170，σ2=100，σ=10， 又训练前学生每分钟的跳绳个数在[160，190]内，160=μ-σ，190=μ+2σ， 所以P(160≤X≤190)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=+≈+ =0.341 35+0.477 25=0.818 6， 由1 000×0.818 6=818.6≈819(人)， 估计训练前该校每分钟的跳绳个数在[160，190]内的学生人数为819， 即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170，200]内的学生人数为819. 12.(14分)(2025·曲靖模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，专注于四足机器人研发的某中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该款机器人在某地区2024年1月至5月的销售量如表所示. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；(5分) (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和均值.(9分) 附：经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-. 【解析】(1)由表格可得=×(1+2+3+4+5)=3， =×(26+37+50+64+93)=54， =4+1+0+1+4=10，(xi-)(yi-)=56+17+0+10+78=161， 所以===16.1，=-=54-16.1×3=5.7， 故y关于x的经验回归方程是=16.1x+5.7. (2)当x=1时，=16.1×1+5.7=21.8， 残差的绝对值为=4.2<5； 当x=2时，=16.1×2+5.7=37.9， 残差的绝对值为=0.9<5； 当x=3时，=16.1×3+5.7=54， 残差的绝对值为=4<5； 当x=4时，=16.1×4+5.7=70.1， 残差的绝对值为=6.1>5； 当x=5时，=16.1×5+5.7=86.2， 残差的绝对值为=6.8>5. 所以“次数据”为第四组和第五组，共两组. 故“次数据”对数X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×==1.2. 【拓展训练】(13题5分，14题6分，共11分) 13.哈希表(HashTable)是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.【典例】如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置).现有一个容量为7个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是(　　) A.至少有1个位置存放了不少于5个数据 B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则a0~a6的中位数为2 C.若a0~a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为 D.若a0~a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据 【答案】D 【解析】设ai为数据除以7的余数为i(i=0，1，2，3，4，5，6)的数的个数， 对于A选项，22=7×3+1， 不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3，3，3，3，3，3，4，故A错误； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43， 这些数据除7的余数分别为1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，6，1， 所以a0=3，a1=4，a2=3，a3=3，a4=3，a5=3，a6=3， 将a0~a6这7个数由小到大排列依次为3，3，3，3，3，3，4，中位数为3，故B错误； 对于C选项，由题意可知，a0~a6这7个数的平均数为=， 且3<<4，<， 因为ai∈N(i=0，1，2，3，4，5，6)， s2=， 当a0~a6这7个数中有6个3，1个4时，s2取最小值， 即==， 当a0~a6这7个数中有6个0，1个22时，s2取最大值， 即==，故C错误； 对于D选项，不妨取a0~a6这7个数依次为1，6，3，3，3，3，3， 满足极差为5，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则a0~a6这7个数据中的最大值为5，最小值为0， 因为22=5×4+2，此时，至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位置没有存放数据，故D正确. 14.(多选)已知一组样本数据：-2，a，b，4，其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是(　　) A.序列不可能既是等比数列又是等差数列 B.若成等比数列，则a和b有4组可能取值 C.若成等差数列，则a和b有3组可能取值 D.若该数据的平均数是1，这组数据的方差的最小值为 【答案】ABC 【解析】若为等比数列，由-2，4可知公比小于0，正负交替排列， 而此时若成等差数列，则具单调性，相互矛盾， 故不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确； 若排列后成等比数列，设公比的绝对值大于1，则 ①公比为-2，数列为a，b，-2，4⇒a=-，b=1， 公比为-2，数列为-2，4，a，b⇒a=-8，b=16， 公比为-2，数列为b，-2，4，a⇒a=-8，b=1， ②公比为，数列为-2，b，a，4 ⇒b=2，a=-2，共4组可能取值， 若公比的绝对值小于1，对应上述倒序排列，a和b有4组可能取值， 所以若成等比数列，a和b有4组可能取值，B项正确； 由a≤0，b≥0，若-2，a，b，4排序后成等差数列，设公差大于0有： ①公差d=6，数列为a，-2，4，b⇒a=-8，b=10； ②公差d=3，数列为a，-2，b，4⇒a=-5，b=1； ③公差d=2，数列为-2，a，b，4⇒a=0，b=2； 公差小于0，对应上述倒序排列，故a，b有3组可能取值， 所以若成等差数列，a和b共有3组可能取值，C项正确； 由数据的平均数是1，==1⇒a+b=2，a≤0， 方差D(X)=[(-2-1)2+(4-1)2+(a-1)2+(b-1)2]=≥5，D项错误. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 概率与统计 第3讲　统计与成对数据的统计分析 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T1)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A.8 B.9 C.12 D.18 2.(2023·新课标Ⅱ卷，T3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比【典例】分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 3.(2025·天津，T5)下列说法中错误的是(　　) A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1，相关性越强 D.|r|越接近0，相关性越弱 4.(2025·全国Ⅰ卷，T15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附：χ2=， α 0.05 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~15分. 【考向预测】一是统计知识，如样本数据数字特征计算与频率分布直方图等相结合进行考查；二是一元线性回归模型的分析，以社会实际生产生活问题为情境的回归直线方程的求解与应用；三是独立性检验，实际生活背景下的两类变量之间的相关性检验. 考点一　统计图表、数字特征 【典例】1　(1)(2025·绵阳模拟)某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号的空调的销售情况，得到销售量的折线图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是(　　) A.A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大 B.A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大 C.A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大 D.A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小 (2)(多选)(2025·攀枝花模拟)某校高三年级共有1 000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则(　　) A.a=0.04 B.样本的众数估计值为55 C.样本的第75百分位数约为61.25 D.该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 【变式训练】1　(1)(2025·萍乡模拟)已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的75%分位数是(　　) A.114 B.115 C.120.5 D.121 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比【典例】超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 考点二　回归分析 【典例】2　(1)(多选)(2025·皖豫联盟联考)2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模(单位：十亿美元)的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份 代号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场 规模y 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设z=ln y，z与x的关系可以用线性回归模型=0.35x+1.57进行拟合，e0.35≈1.42，e1.57≈4.8，则(　　) A.人工智能的市场规模与年份正相关 B.人工智能的市场规模的90%分位数为110 C.y关于x的经验回归方程为=e0.35x+4.8 D.人工智能的市场规模的年增长率约为42% (2)(2025·聊城模拟)为了研究某市高中生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的=19.25，=161，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为=4x+.已知被调查的某学生的脚长为25 cm，身高180 cm，则该样本点的残差为(　　) A.1 cm B.-1 cm C.4 cm D.-4 cm 【变式训练】2　(2025·齐鲁名校联考)下表是2020年至2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人口数y 120 106 96 90 95 (1)求2020年至2024年中国每年出生人口数的平均数； (2)某研究人员建立了y关于x的回归模型=120-6x，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万； (3)求(2)中回归模型的决定系数R2，并评价其拟合效果.(如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好；如果0.7≤R2<0.85，就认为拟合效果一般；如果R2<0.7，就认为拟合效果差) 附：R2=1-，≈567. 考点三　独立性检验 【典例】3　(多选)(2025·新余模拟)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则(　　) 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：χ2=. α 0.1 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 6.635 7.879 10.828 A.这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B.这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C.χ2的观测值约为13.428 D.根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该新药有效 【变式训练】3　(2025·华大新高考联盟质检)为了了解某地25~40岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如表所示. 工资超过3 500 工资不超过3 500 合计 男性居民 200 180 女性居民 280 240 合计 (1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？ (2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3 500的概率. 附：χ2=. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·湖北九师联盟模拟)已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 2.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66　67　40　37　14　64　05　71　11　05　65 09　95　86　68　76　83　20　37　90 57　16　03　11　63　14　90　84　45　21　75 73　88　05　90　52　23　59　43　10 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本的编号是(　　) A.10 B.09 C.71 D.20 3.(2025·东三省四市教研联合体模拟)为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，102.5)这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为(　　) A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4 4.(2025·安康联考)有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为，若样本数据-x1+1，-x2+1，…，-xn+1的平均数为，方差为，则(　　) A.=-1 B.= C.= D.> 5.某在线平台利用AI技术为学生提供个性化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分数按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为(　　) A.85 B.80 C.77.5 D.75 6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高x(单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y(单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为=x+，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l2的方程为=x+，样本相关系数为r2.则下列选项正确的是(　　) A.>，>，r1<r2 B.>，<，r1>r2 C.<，<，r1>r2 D.<，>，r1<r2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·济南模拟)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(　　) 附： α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关 B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.100 C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关 D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过0.01 8.(2025·浙江R6联盟联考)下列结论中，正确的有(　　) A.若随机变量ξ~N(2，σ2)，P(ξ≤5)=0.81，则P(ξ≤-1)=0.19 B.将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C.已知经验回归方程为=x+2.8，且=4，=30，则=6.8 D.在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，R2值越小，则模型的拟合效果越好 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·湖南名校联合体模拟)高三某班第一组学生的数学期末考试成绩分别为138，130，120，122，120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差的绝对值为　　　　　.  10.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i=1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c，k为参数).令xi=ln Wi，yi=ln fi，计算得=8，=5，=214.由最小二乘法得经验回归方程为=x+7.4，则k的值为　　　　　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 i(i=1，2，…，8)，若残差平方和≈0.28，则决定系数R2≈　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2025·湖南名校联考)为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表. 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 35 35 70 不喜欢跳绳 10 20 30 合计 45 55 100 (1)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？(5分) (2)已知该校学生每分钟的跳绳个数X~N(170，100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1 000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170，200]内的学生人数.(结果精确到整数)(8分) 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 12.(14分)(2025·曲靖模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，专注于四足机器人研发的某中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该款机器人在某地区2024年1月至5月的销售量如表所示. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；(5分) (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和均值.(9分) 附：经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-. 【拓展训练】(13题5分，14题6分，共11分) 13.哈希表(HashTable)是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.【典例】如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置).现有一个容量为7个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是(　　) A.至少有1个位置存放了不少于5个数据 B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则a0~a6的中位数为2 C.若a0~a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为 D.若a0~a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据 14.(多选)已知一组样本数据：-2，a，b，4，其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是(　　) A.序列不可能既是等比数列又是等差数列 B.若成等比数列，则a和b有4组可能取值 C.若成等差数列，则a和b有3组可能取值 D.若该数据的平均数是1，这组数据的方差的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $