专题六 不等式、函数与导数 第1讲 不等式讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦不等式专题，覆盖不等式解法、基本不等式及综合应用等高考核心考点，按“真题探究—考点梳理—典例精讲—变式训练”逻辑架构知识，通过考点分块突破、方法归纳与真题实战，帮助学生构建系统解题思路。 资料以真题为导向，设置分层训练（典例、限时、拓展），如在基本不等式考点中，结合条件最值问题培养学生数学思维与推理能力，限时训练精准把控复习节奏，助力教师高效指导，提升学生解题效率与应考能力。

专题六 不等式、函数与导数 第1讲　不等式 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分. 【考向预测】一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用. 考点一　不等式的解法 【典例】1　(1)设集合A={x||x-a|<1}，B=.若A∩B=∅，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6} C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4} (2)(2025·济南模拟)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围为(　　) A.[-5，3) B.[2，3) C.[2，3)∪[4，5) D.[-5，3)∪(4，5] 【变式训练】1　(2025·南通模拟)已知关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，+<2，则实数b的取值范围是　　　　.  考点二　基本不等式 【典例】2　(1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b满足a+2b=1，则(　　) A.ab的最大值为 B.a2+4b2的最小值为 C.+的最大值为2 D.2a+4b的最小值为2 (2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为(　　) A.6 B.-6 C.8 D.-8 【变式训练】2　(1)若x>0，y>0，x+2y=5，则的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且+=1，则3x+4y的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 考点三　不等式的综合应用 【典例】3　(2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，则b+的最小值为　　　　　.  【变式训练】3　(多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C关于直线y=x对称 B.m+n的最大值为2 C.该椭圆的离心率为 D.n的最大值为2 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·广安模拟)不等式≥1的解集是(　　) A.{x|x<-1或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤2} D.{x|-1<x≤2} 2.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b的最大值为(　　) A. B.1 C.4 D.16 4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.{a|a≥0} D. 5.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b在c上的投影向量相等，则x2+y2的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D. 6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则(　　) A.2r<r1+r2 B.2r>r1+r2 C.r2=r1r2 D.r2<r1r2 8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0恒成立，则a的取值集合为(　　) A.{1} B.(0，1] C. D.[1，+∞) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·汕头模拟)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.a<0 B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|1<x≤2} C.4a+2b+c<0 D.函数y=ax2+bx+c在上单调递增 10.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是(　　) A.+≤ B.ab≤2 C.a+b≤2 D.a2+b2≥4 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则+的最小值为　　　　　.  13.(2025·赣州模拟)若关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，且+=2，则实数m的值为　　　　.  14.(2025·白银模拟)若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是　　　　.  【拓展训练】(15题5分，16题6分，共11分) 15.(2025·鞍山模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=ax(a>1)的图象上两个不同的点，则(　　) A.loga< B.loga> C.loga<x1+x2 D.loga>x1+x2 16.(多选)(2025·成都模拟)已知集合S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy-3k≥0}(k>0)，则称集合S为k-分集.下列说法正确的是(　　) A.当k=3时，{(3，3)}是唯一的k-分集 B.对任意k>3，总存在至少一个k-分集 C.若S是2-分集，则|x-y|>2 D.若S是1-分集，则(x-2)2+(y-4)2<24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 不等式、函数与导数 第1讲　不等式 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分. 【考向预测】一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用. 1.【答案】C 【解析】≥2即为≤0，即故-2≤x<1， 故不等式的解集为{x|-2≤x<1}. 2.【答案】C 【解析】对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误； 对于B，D，取a=，b=，此时+=2+4=6<=8=， +=2+4=6>=4=，故B，D错误； 对于C，由基本不等式可得a+b≥2>，故C正确. 3.【答案】C 【解析】由椭圆C：+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤=32=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立. 4.【答案】C 【解析】选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1时，y取得最小值，且ymin=3，所以选项A不符合题意. 选项B，因为y=|sin x|+≥2=4，所以y≥4， 当且仅当|sin x|=，即|sin x|=2时不等式取等号，但是|sin x|=2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意. (或设|sin x|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+在(0，1]上单调递减可得ymin=1+=5，所以选项B不符合题意.) 选项C，因为y=2x+22-x≥2=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以选项C符合题意. 选项D，当0<x<1时，ln x<0，y=ln x+<0，所以选项D不符合题意. 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数. 5.【答案】ABD 【解析】因为a>0，b>0，a+b=1， 所以a+b≥2， 当且仅当a=b=时，等号成立，即有ab≤. 对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，故A正确； 对于B，2a-b=22a-1=×22a， 因为a>0，所以22a>1，即2a-b>，故B正确； 对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2=-2，故C错误； 对于D，由(+)2=a+b+2=1+2≤2，得+≤，故D正确. 6.【答案】BC 【解析】因为ab≤≤(a，b∈R)， 由x2+y2-xy=1可变形为 (x+y)2-1=3xy≤3， 解得-2≤x+y≤2， 当且仅当x=y=-1时，x+y=-2， 当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为 (x2+y2)-1=xy≤， 解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 因为x2+y2-xy=1可变形为 +y2=1， 设x-=cos θ，y=sin θ， 所以x=cos θ+sin θ， y=sin θ， 因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+ =+sin∈， 所以当x=，y=-时满足等式， 但是x2+y2≥1不成立，所以D错误. 考点一　不等式的解法 【典例】1　(1)设集合A={x||x-a|<1}，B=.若A∩B=∅，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6} C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4} 【答案】C 【解析】由|x-a|<1得，-1<x-a<1， 即a-1<x<a+1， 所以A={x|a-1<x<a+1}， 由<-1得，<0，解得1<x<5， 所以B={x|1<x<5}， 因为A∩B=∅，所以a+1≤1或a-1≥5， 解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}. (2)(2025·济南模拟)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围为(　　) A.[-5，3) B.[2，3) C.[2，3)∪[4，5) D.[-5，3)∪(4，5] 【答案】D 【解析】由x2-2x-8>0，即(x-4)(x+2)>0，解得x<-2或x>4， 由2x2+(2k+7)x+7k<0，即(2x+7)(x+k)<0， 当k=时，不等式(2x+7)(x+k)<0即为2<0，无解； 当k>时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以-5≤-k<-4，即4<k≤5； 当k<时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则-3<-k≤5，即-5≤k<3. 综上所述，实数k的取值范围为[-5，3)∪(4，5]. 【考法归纳】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 【变式训练】1　(2025·南通模拟)已知关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，+<2，则实数b的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】因为关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)， 即关于x的一元二次方程x2-bx+2b-3=0的两根为x1，x2， 则 所以 解得b<或b>6. 故实数b的取值范围是. 考点二　基本不等式 【典例】2　(1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b满足a+2b=1，则(　　) A.ab的最大值为 B.a2+4b2的最小值为 C.+的最大值为2 D.2a+4b的最小值为2 【答案】ABD 【解析】对于A，因为a，b是正数，所以1=a+2b≥2⇒ab≤，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，所以ab的最大值为，A正确； 对于B，因为a，b是正数，≤⇒a2+4b2≥，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，a2+4b2的最小值为，B正确； 对于C，因为(+)2=a+2b+2=1+2≤1+2=2，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，+≤，+的最大值为，C错误； 对于D，2a+4b=2a+22b≥2=2=2，当且仅当2a=22b，即a=2b，即a=，b=时取等号，2a+4b的最小值为2，D正确. (2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为(　　) A.6 B.-6 C.8 D.-8 【答案】B 【解析】由x2+y2=2x2y2(xy≠0)， 两边同时除以x2y2，得+=2， x2+9y2=(x2+9y2)× = ≥=8， 当且仅当=，即x2=3y2=2时取等号， 所以2-x2-9y2=2-(x2+9y2)≤2-8=-6， 故2-x2-9y2的最大值为-6. 【考法归纳】基本不等式求最值 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法. 【变式训练】2　(1)若x>0，y>0，x+2y=5，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为x>0，y>0，x+2y=5， 所以5=x+2y≥2， 所以xy≤，当且仅当x=，y=时等号成立，所以≥，即的最小值为. (2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且+=1，则3x+4y的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】B 【解析】因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0， 由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0， 3x+4y=(3x+4y+1)-1 =[(x+1)+(2x+4y)]-1 =2++-1 ≥2+2-1=3， 当且仅当 即时等号成立， 所以3x+4y的最小值是3. 考点三　不等式的综合应用 【典例】3　(2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，则b+的最小值为　　　　　.  【答案】8 【解析】因为关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立， 所以是方程x2+bx-8=0的根， 则+b·-8=0，即b=8a-，且a>0， 所以b+=8a+≥2=8，当且仅当8a=，即a=，b=2时取等号，故b+的最小值为8. 【考法归纳】何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 【变式训练】3　(多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C关于直线y=x对称 B.m+n的最大值为2 C.该椭圆的离心率为 D.n的最大值为2 【答案】ABD 【解析】将曲线C方程中的x与y对调后，该方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，A正确； 由题意知m2+n2-mn=6，因为m2+n2≥， mn≤，所以m2+n2-mn=6≥，则m+n≤2，当且仅当m=n=时等号成立，所以m+n的最大值为2，B正确； 联立方程解得顶点坐标为(，)和(-，-)，所以椭圆的长轴长为2a=4⇒a=2，同理可得另外两个顶点坐标为(，-)和(-，)，所以椭圆的短轴长为2b=4⇒b=2，所以c===2，所以该椭圆的离心率e===，C错误； 将m2+n2-mn=6看作关于m的一元二次方程，令Δ=n2-4(n2-6)≥0，解得-2≤n≤2，所以n的最大值为2，D正确. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·广安模拟)不等式≥1的解集是(　　) A.{x|x<-1或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤2} D.{x|-1<x≤2} 【答案】D 【解析】因为≥1，所以-1=≥0， 即≤0，可得 解得-1<x≤2， 故原不等式的解集是{x|-1<x≤2}. 2.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若ab>0，a>b，则b-a<0， 则-=<0， 即<，充分性成立； 若ab>0，<，则-=<0，则b-a<0，即a>b，必要性成立，所以如果ab>0，那么“a>b”是“<”的充要条件. 3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b的最大值为(　　) A. B.1 C.4 D.16 【答案】B 【解析】log2a·log2b≤==1，当且仅当log2a=log2b=1，即a=b=2时取等号，故log2a·log2b的最大值为1. 4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.{a|a≥0} D. 【答案】D 【解析】方法一　因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解， 则a≥-x+在x∈[1，4]上有解， 又因为y=-x和y=在[1，4]上单调递减， 所以f(x)=-x+在[1，4]上单调递减， f(x)min=f(4)=-4+=-， 即a≥-. 方法二　因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解， 设g(x)=x2+ax-1，则g(x)max≥0， 即g(1)≥0或g(4)≥0，解得a≥-. 5.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b在c上的投影向量相等，则x2+y2的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D. 【答案】A 【解析】由题意得·=·， 可得a·c=b·c， 故x+1=3-y，即x+y=2， 所以x2+y2≥=2， 当且仅当x=y=1时取等号， 所以x2+y2的最小值为2. 6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则4a3-a7=4(a1+2d)-(a1+6d)=3a1+2d=8， 解得a1=， 由于{an}为正项等差数列， 则解得0<d<4， a1a3=·= =(8-2d)(4+2d)≤·=8， 当且仅当8-2d=4+2d，即d=1，a1=2时等号成立，所以a1a3的最大值为8. 7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则(　　) A.2r<r1+r2 B.2r>r1+r2 C.r2=r1r2 D.r2<r1r2 【答案】B 【解析】不妨设圆柱和圆台的高为h， 由体积公式可知πr2h=π(++r1r2)h， 即r2=++r1r2)， 则4r2-(r1+r2)2=++r1r2)-(++2r1r2)=(r1-r2)2， 因为在圆台中，r1≠r2，所以(r1-r2)2>0， 即4r2>(r1+r2)2，2r>r1+r2，故A错误，B正确； 由基本不等式，结合r1≠r2，得<<r， 平方后得到r2>r1r2，故C，D错误. 8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0恒成立，则a的取值集合为(　　) A.{1} B.(0，1] C. D.[1，+∞) 【答案】A 【解析】设x+a=t，则x=t-a，t>0， 原不等式可化为(t-a)tln t≥0. 因为t>0，所以(t-a)ln t≥0， 当0<t<1时，ln t<0，所以t-a≤0在t∈(0，1)上恒成立，即a≥1； 当t=1时，ln t=0，所以(t-a)ln t≥0恒成立； 当t>1时，ln t>0，所以t-a≥0在t∈(1，+∞)上恒成立，即a≤1. 综上可得，a=1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·汕头模拟)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.a<0 B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|1<x≤2} C.4a+2b+c<0 D.函数y=ax2+bx+c在上单调递增 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意得，方程ax2-bx+c=0的两个实数根为-1和2，且a<0，故A正确； 由根与系数的关系得 即 对于B，不等式cx2+bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1>0，解得x>1或x<-，故B错误； 对于C，因为b=a，c=-2a，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a-2a=4a<0，故C正确； 对于D，y=ax2+bx+c即y=ax2+ax-2a=a-，因为a<0，所以该函数在上单调递增，故D正确. 10.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 【答案】AD 【解析】对于A，-==， 因为a>b>c，所以c-b<0，a-c>0，a-b>0， 即<0，所以<，故A正确； 对于B，取a>b=0>c，此时ab2=cb2=0，故B错误； 对于C，取a=-1>b=-2>c=-3，则a+b=c=-3，故C错误； 对于D，若b=0，则a2+c2>b2=0显然成立， 若b>0，则a2+c2≥a2>b2成立， 若b<0，则a2+c2≥c2>b2成立， 综上所述，只要a>b>c，就一定有a2+c2>b2，故D正确. 11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是(　　) A.+≤ B.ab≤2 C.a+b≤2 D.a2+b2≥4 【答案】BC 【解析】对于B，由a2+b2≥2ab，可得ab+2≥2ab，解得ab≤2， 当且仅当a=b=时，等号成立，故B正确； 对于A，由a>0，b>0，得+≥，而ab≤2，所以≥，所以+≥，当且仅当a=b=时，等号成立，故A错误； 对于C，由ab≤，a2+b2-ab=2，得(a+b)2-2=3ab≤，解得(a+b)2≤8，即a+b≤2，当且仅当a=b=时，等号成立，故C正确； 对于D，由ab≤，a2+b2-ab=2，得a2+b2-2=ab≤，解得a2+b2≤4，当且仅当a=b=时，等号成立，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则+的最小值为　　　　　.  【答案】 【解析】由题意得|MF1|+|MF2|=6， 所以+ =×(|MF1|+|MF2|) = ≥=， 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号， 所以+的最小值为. 13.(2025·赣州模拟)若关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，且+=2，则实数m的值为　　　　.  【答案】-1 【解析】因为关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)， 所以x1+x2=-2(m-1)，x1x2=m2-m， Δ=4(m-1)2-4(m2-m)>0，解得m<1， 因为+==2， 所以=2，解得m=-1. 14.(2025·白银模拟)若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是　　　　.  【答案】 【解析】方法一　设a+1=s，b+2=t， 则s+t=a+b+3=4， ∵+=+=s-2++t-4+=s+t++-6=+-2， ∴+=(s+t) =≥=， 当且仅当s=，t=，即a=，b=时取等号， ∴+≥-2=，故所求最小值是. 方法二　∵a+b=1，∴a+1+b+2=4， ∴+=(a+1+b+2) = ≥ =(a2+2ab+b2)=(a+b)2=， 当且仅当a=，b=时取等号，故所求最小值是. 【拓展训练】(15题5分，16题6分，共11分) 15.(2025·鞍山模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=ax(a>1)的图象上两个不同的点，则(　　) A.loga< B.loga> C.loga<x1+x2 D.loga>x1+x2 【答案】B 【解析】由题意不妨设x1<x2， 因为函数y=ax(a>1)是增函数， 所以0<<，即0<y1<y2， 对于选项A，B，因为=>=>0，即>>0， 且函数y=logax是增函数， 所以loga>loga=，故B正确，A错误； 对于选项C，【典例】如a=2，x1=-1，x2=-2，则y1=，y2=， 可得log2=log2=log23-3∈(-2，-1)， 即log2>-3=x1+x2，故C错误； 对于选项D，【典例】如a=2，x1=0，x2=1，则y1=1，y2=2，可得log2=log2∈(0，1)， 即log2<1=x1+x2，故D错误. 16.(多选)(2025·成都模拟)已知集合S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy-3k≥0}(k>0)，则称集合S为k-分集.下列说法正确的是(　　) A.当k=3时，{(3，3)}是唯一的k-分集 B.对任意k>3，总存在至少一个k-分集 C.若S是2-分集，则|x-y|>2 D.若S是1-分集，则(x-2)2+(y-4)2<24 【答案】AD 【解析】由x>0，y>0，x+y=6，得xy≤==9，当且仅当x=y=3时等号成立，即(xy)max=9. 对于A，当k=3时，则S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy≥9}，又xy≤9，故S={(x，y)|x=y=3}={(3，3)}，故A正确； 对于B，当k>3时，xy≥3k>9，不符合(xy)max=9，故B不正确； 对于C，当k=2时，xy≥6，所以|x-y|=≤==2，故C不正确； 对于D，当k=1时，xy≥3，又x>0，y>0，x+y=6，所以x(6-x)≥3，解得3-≤x≤3+，(x-2)2+(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2(1+)2=14+4<24，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $