精品解析：黑龙江省智研联盟2025-2026学年高二上学期1月第一次联合考试数学试题

黑龙江省智研联盟 2025－2026学年度上学期 1月份第一次联合考试 高二年级数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在正方体中， 是侧面内一动点，若点 到直线 的距离是到直线的距离的2倍，则动点 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】由点 到直线 和直线的距离关系分析，可得动点 的轨迹满足椭圆的第二定义. 【详解】由于侧面，所以点 到直线的距离即为点 到点的距离． 从而点 到直线 的距离是其到点的距离的2倍， 动点 的轨迹所在的曲线为椭圆，离心率为. 故选：B. 2. 已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（ ）. A. 2045 B. 2046 C. 2047 D. 2048 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式并项求和即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 3. 已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】由，则， 当 时，则，此时数列单调递增， 当时，则，此时数列单调递增， 故，则数列单调递增， 又当数列单调递增时，所以， 综上， 是 的充要条件． 故选：A． 4. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故A正确； 对B：有，故，，共面，故B错误； 对C：，故，，共面，故C错误； 对D：，故 ，，共面，故D错误. 故选：A. 5. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 6. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 7. 已知椭圆，、分别是 的左、右焦点， 是 上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点三角形的性质表示焦点三角形内切圆半径与外界圆半径，结合面积比可知半径比，结合焦点三角形定角的取值范围可知当 在短轴端点时，取得最值，代入即可得解. 【详解】 如图所示，设，，， 由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理可得， 则，所以， 又的周长为， 则内切圆半径， 又在中，由正弦定理可知， 为的外接圆半径， 即， 所以， 由椭圆的对称性可知， 如图所示，当点 为短轴端点时取得最大值为， 所以取得最小值为， 又的最小值为 ， 即的最小值为 ，即， 即，化简可得， 等式左右同时除以， 可得，即， 由椭圆离心率， 则， 故选：A. 8. 已知斜率不为0的直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M．若M为线段AB的中点，则直线l的纵截距为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程为,将其代入抛物线方程，设，线段AB的中点，利用点差法求得，由，得，再代入圆的方程，解得，最后由解得. 【详解】设直线方程为,, 线段AB的中点, 圆的方程为，圆心为，半径为， 由,两式相减： 则可以变形为：,所以. 又,所以, 即,解得, 代入直线方程:,解得, 将代入圆的方程可得,解得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有错选不得分. 9. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】对A，赋值得，所以A正确； 对B，又由，，相加得，所以B正确； 对C，，， 则 ，所以C错误； 对D，所以 ， 结合，解得，所以D正确. 故选：ABD． 10. 已知双曲线为 的左、右焦点， 点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线 ，过作 的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（ ） A. 的标准方程为 B. C. 连的外接圆半径为 D. 设 点为的重心，则 点坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：判断出的形状，根据得到关于 的方程，可求 ，再根据勾股定理可求，则 的标准方程可知；B：根据与全等，利用中位线进行证明；C：计算出的大小，结合正弦定理可求结果；D：根据等面积法以及分别计算出，则重心坐标可求. 【详解】延长交于 点，延长交于 点，如图所示， 因为，所以， 又因为 平分，所以， 因为，所以都是等腰直角三角形， 因为，，， 所以与全等，所以，所以 为中点， 又因为 为中点，所以且，所以，故B正确； 因为， 所以，又，所以， 因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以 的标准方程为，故A错误； 因为，所以， 因为，，， 所以与全等，所以 为中点，所以， 所以，所以， 所以， 所以的外接圆半径为，故C错误； 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，且， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，点 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 面 B. 若，则 C. 若，则 到平面 的距离为 D. 若时，直线 与平面 所成角为 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点 在线段上， 因为， 平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故 不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面 的法向量为，则， 故可取，又， 则 到平面 的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面 的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，圆， 分别为圆和圆上的动点， 为直线上的动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为 到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径 ， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点 对称，则有， 原问题可以转化为 到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线 交于点 ， 此时点 是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 13. 已知双曲线 的左右顶点分别为 ，双曲线 在第一象限内存在一点 ，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解. 【详解】设，则有， 即，所以. 由题意知， 则. 所以，即. 将代入双曲线方程可得，即. 因为，所以，即. 由可得，所以离心率. 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为： 14. 已知数列各项均为正数，它的前 项和为，且，，则数列的通项公式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，进而结合与的关系化简得到，令，可得，令，为锐角，进而得到，，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，求出，进而得到，再求解即可. 【详解】由，数列各项均为正数， 则， 所以，则， 即， 令，则， 令，为锐角， 则， 所以，则， 又， 所以，即，所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，所以， 所以， 当 时，， 又也适合，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为各项均为正数的数列，其前 项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 项和记为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式； （2）利用裂项相消求和法可求得，进而可证得结论. 【小问1详解】 当 时，，得， ∵，∴， 当 时，， 两式作差可得：， 即， ∴， 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴ . 【小问2详解】 ∵ ，∴，∴， ∴. 则 . ∵，∴，∴， 又∵为递增数列，所以， ∴. 16. 如图，在四棱锥中,底面 是直角梯形, 在锐角 中,. （1）求证：平面⊥平面 ; （2）在棱 上是否存在一点 ,使 平面 ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线 与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，底面为直角梯形， 且，所以 ，由已知 ， 又 ，故 平面，又 平面 ，所以平面⊥平面 ； （2）存在， （3）． 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，需要先证明线面垂直．即先根据条件证明出 平面即可； （2）利用线面平行的性质，通过三角形相似找到线段比例关系，即可确定点 位置； （3）建立空间直角坐标系，求出相关平面法向量，根据空间向量夹角公式即可求出两平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ， ，连接 ，若 平面 ， 因为 平面 ，平面 平面 ， 故 ，又 ，则 ， 故 为 三等分点（靠近点 ），即 ， 当 时， ，故 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； 【小问3详解】 如图，以 为原点，分别以、方向为 轴、 轴正方向,通过点D作平面 的垂线，以该直线的向上方向为 轴，如图建立空间直角坐标系， 则, 所以，， 不妨设，则， 所以．设平面PCD的法向量为 ， 则，可取， 因为 与平面所成角为， 则， 解得，故，则， 所以， 可取；设平面的法向量为 ， 则，可取＝， 设平面与平面夹角为 ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆 交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. （1）求椭圆 的离心率e； （2）若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为； （3），此时三角形面积的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率即可； （2）联立与得到一元二次方程，由已知向量的线性关系及其坐标表示得，结合韦达定理求出答案； （3）先联立椭圆与直线，应用韦达定理表示出，结合为定值得，并求出，和点 到直线 的距离 ，利用基本不等式得. 【小问1详解】 由，则，故，所以离心率； 【小问2详解】 由题设，联立与得，， 设，则， 因为，所以 ； 【小问3详解】 由题设，联立，消元得，设， 当，即时，则， ， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点 到直线 的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，在 上且. （1）求双曲线 的方程； （2）按照如下方式构造点列：过点作互相垂直的两条直线分别交双曲线 于，记弦与的中点分别为，直线与 轴交于点.设. （i）证明：过定点； （ii）求. 【答案】（1）； （2）（i）过定点，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）将代入得到，结合垂直关系得到，联立可得，得到双曲线方程； （2）（i）表达出直线，与双曲线方程联立得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，得到直线的方程，令 得，从而得到过定点； （ii）在（i）基础上，得到为公比为的等比数列，得到通项公式. 【小问1详解】 在 上，故， 因，可得， 又，联立解得， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）证明：设过作直线， 由，消去 得， 其中，所以. 由韦达定理， 所以. 过作直线，同理可求得. 所以直线的方程为， 在直线的方程中，令 ，得. 当 时，，故直线过定点，即. （ii）由（i）知，，故为公比为的等比数列， 又，故. 19. 的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）记. （i）求证：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），且为三角形的最长边； （ii）记，同样可得：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），如此往复构造可得一系列，求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求角； （2）（i）利用角的范围分析，即可判断为三角形的最长边，结合两角和正弦公式及不等式的放缩思想，即可证明两短边之和大于最长边，从而问题得证； （ii）结合两角和正弦公式和余弦定理来求得递推关系，再利用构造成等比数列递推关系，即可求得通项公式； 方法二：就是利用角与边的正弦关系，再利用正弦定理，可以构造一个三角形外接圆直径为1的圆，这样就可以把边转化为角的问题，从而即可解决问题. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得：， 因为，所以. 【小问2详解】 方法一： （i）因为，则，且， 所以， 又， ， 从而， 因为， 所以 ， 所以以为三边可构成（其中分别为边所对的角），且为三角形的最长边； （ii）依题意有；， 设， 显然， 在中，由余弦定理得： ， 因为 所以. 又在上单调递减， 故， 因为，所以是等比数列， 即，故数列的通项公式：. 方法二： （i）因为， 所以， 又， 分别以为三角形的内角作外接圆直径为1的三角形， 由正弦定理知，该三角形的三边分别是， 所以能构造， 且，又，则，且是的最长边； （ii）在中，， 则， 又， 分别以为三角形的内角作外接圆直径为1的三角形， 由正弦定理知，该三角形的三边分别是， 与的三边分别相等， 故两个三角形全等，则，即， 因为，所以是等比数列， 即，故数列的通项公式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省智研联盟 2025－2026学年度上学期 1月份第一次联合考试 高二年级数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在正方体中， 是侧面内一动点，若点 到直线 的距离是到直线的距离的2倍，则动点 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 2. 已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（ ）. A. 2045 B. 2046 C. 2047 D. 2048 3. 已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 6. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，、分别是 的左、右焦点， 是 上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知斜率不为0的直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M．若M为线段AB的中点，则直线l的纵截距为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有错选不得分. 9. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 10. 已知双曲线为 的左、右焦点， 点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线 ，过作 的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（ ） A. 的标准方程为 B. C. 连的外接圆半径为 D. 设 点为的重心，则 点坐标为 11. 在棱长为2的正方体中，点 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 面 B. 若，则 C. 若，则 到平面 的距离为 D. 若时，直线 与平面 所成角为 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，圆， 分别为圆和圆上的动点， 为直线上的动点，则的最小值为__________． 13. 已知双曲线 的左右顶点分别为 ，双曲线 在第一象限内存在一点 ，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ 14. 已知数列各项均为正数，它的前 项和为，且，，则数列的通项公式为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为各项均为正数的数列，其前 项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 项和记为，证明：. 16. 如图，在四棱锥中,底面 是直角梯形, 在锐角 中,. （1）求证：平面⊥平面 ; （2）在棱 上是否存在一点 ,使 平面 ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线 与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆 交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. （1）求椭圆 的离心率e； （2）若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，在 上且. （1）求双曲线 的方程； （2）按照如下方式构造点列：过点作互相垂直的两条直线分别交双曲线 于，记弦与的中点分别为，直线与 轴交于点.设. （i）证明：过定点； （ii）求. 19. 的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）记. （i）求证：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），且为三角形的最长边； （ii）记，同样可得：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），如此往复构造可得一系列，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $