精品解析：四川省资阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年上学期八年级学科测评卷数学 本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 49的平方根是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，在数轴上有A、B、C、D四个点，实数在数轴上对应的位置是（ ）． A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 中关村中学七年级（1）班人参加数学学科竞赛，其中优秀人，良好人，及格人，不及格人．如果用扇形统计图把这个班的考试结果表示出来，那么表示及格人数的扇形圆心角是（ ）度． A. B. C. D. 5. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 36或 B. 13 C. 12 D. 12或 7. 下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．） 11. 在实数，，，，中，无理数的个数为_____． 12. 已知，则______． 13. 在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38、52、47、46、50、53、61、72、45、58，则10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为__________． 14. 在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，正确的有_____． ①；②；③；④ 15. 已知实数x、y满足，则的平方根____________． 16. 如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）分解因式：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 为掌握家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1600名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次抽取家长共有_____人； （2）直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数； （4）请结合调查结果，对该校提出合理的建议． 20. 如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 22. 已知凸四边形中，平分，过点作的垂线交于点．求证：． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． （1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． （3）如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） （4）已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期八年级学科测评卷数学 本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 49的平方根是（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，根据平方根直接计算即可． 【详解】49的平方根是． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图所示，在数轴上有A、B、C、D四个点，实数在数轴上对应的位置是（ ）． A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了无理数的估算，先估算出的大小，再根据数轴即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴实数在数轴上对应的位置是点B， 故选：B． 4. 中关村中学七年级（1）班人参加数学学科竞赛，其中优秀人，良好人，及格人，不及格人．如果用扇形统计图把这个班的考试结果表示出来，那么表示及格人数的扇形圆心角是（ ）度． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，先计算出及格人数占全班人数的百分之几，把周角的度数看作单位“”，根据一个数乘以百分数的意义，用乘法解答即可． 【详解】解： 故选：B． 5. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 6. 如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 36或 B. 13 C. 12 D. 12或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ， 故选：D． 7. 下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，乘法公式． 根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可． 【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 8. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 9. 如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 10. 如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，延长，作于点．，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数，在直角中勾股定理求得和的长，则在直角中利用勾股定理求得的长，进而求得三角形的面积． 【详解】解：∵为等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得，连，且延长，作于点．于点，如图， ，，， 为等边三角形，， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ． ， 在直角中，，． 在直角中，． 则的面积是． 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．） 11. 在实数，，，，中，无理数的个数为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的定义，首先计算立方根，然后根据无限不循环小数即为无理数求解即可． 【详解】解：， ∴其中无理数有，，共2个． 故答案为：2． 12. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则． 利用平方差公式化简后代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 13. 在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38、52、47、46、50、53、61、72、45、58，则10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】数出这10个数据中不少于50的个数，然后根据频率公式：频率=频数÷总数，计算即可． 【详解】解：这10个数据中不少于50有52、50、53、61、72、58，共6个 ∴10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为6÷10= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是求频率问题，掌握频率公式：频率=频数÷总数是解决此题的关键． 14. 在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，正确的有_____． ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形运用，平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提． 根据拼图得出，，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的边长为，中间的小正方形的边长为， ∴，故①正确， ∴，， ∴，，故②，③正确， 由于，而， ∴， ∴，故④不正确， 故答案为：①②③． 15. 已知实数x、y满足，则的平方根____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义，是解题的关键．先将变形为，再根据非负数的性质，求出，，然后代入求出，最后根据平方根定义，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根是， ∴的平方根为． 故答案为：． 16. 如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算平方，绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可得出结果； （2）先利用完全平方公式计算，再平方差公式计算即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘以多项式以及平方差公式进行计算，再将，代入，即可求解． 【详解】解：原式. 当，时，原式=0. 19. 为掌握家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1600名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次抽取家长共有_____人； （2）直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数； （4）请结合调查结果，对该校提出合理的建议． 【答案】（1）100 （2） 补全条形统计图如图． （3）“基本了解”所对应的扇形圆心角的度数为 （4） 合理的建议： 针对“了解较少”的家长群体，学校可以通过家长会、家校群推送资料等方式，普及双减政策的具体内容和意义． 定期开展双减政策解读讲座，提升家长对政策的认知水平，更好地配合学校落实双减工作． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由“非常了解”的人数除以所占百分比得出本次抽取家长共有的人数； （2）先求出“了解较多”的人数，再补全统计图即可； （3）用“基本了解”的家长数所占的百分比乘以即可； （4）根据统计数据提出两条合理化建议即可． 【小问1详解】 本次抽取家长共有（人）， 故答案为：100 【小问2详解】 “了解较多”的人数为： （人） 【小问3详解】 “基本了解”所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 略 20. 如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ 即 ∵，， ∴ ∵，，， ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是找出证明全等的条件；要想证明三角形全等，先找到一组边相等，根据题意易得两组角相等，即可证明全等解决问题； 【详解】略 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【小问1详解】 解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 22. 已知凸四边形中，平分，过点作的垂线交于点．求证：． 【答案】 证明：过作于， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，过作于，证，推出，证，推出，求出，即可得出答案． 【详解】略 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． （1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． （3）如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） （4）已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 【答案】（1） 解：①如图1-1，1-2，1-3所示 （2）或或 （3） 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， （4） 解：如图3 ①作线段， ②在线段上取一点，使， ③作线段的垂直平分线， ④以为半径，以为圆心，画弧交线段的垂直平分线于点， 则为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （4）模仿图1-2构造等腰三角形和即可作图. 【小问1详解】 解：①如图1-1，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； ②如图1-2，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； ③如图1-3，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴ 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． 【小问4详解】 证明：由作法可知，，， ∴，， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $